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Darstellung von Zuordnungen

Ein Angebot eines E-Scooter-Verleihs untersuchen

Eine Unternehmen macht folgendes Angebot für den Verleih seiner E-Scooter:

  • Die Leihgebühr beträgt 1€. Die muss man beim Ausleihen immer zahlen.
  • Die Kosten für die Nutzung betragen 0.20€ pro Minute.
  • Es wird genau abgerechnet. Das bedeutet, dass z.B. eine halbe Minute mit 0.10€ verrechnet wird.

Zur Analyse des Angebots betrachten wir folgende Zuordnung:

Ausleihzeit [min] -> Kosten [€]

Die Zuordnung lässt sich auf unterschiedliche Weisen mathematisch beschreiben.

Eine Zuordnung tabellarisch beschreiben

Zu jeder (sinnvollen) Ausleihzeit kann man die Kosten angeben.

0 [min] -> 1.00 [€]
1 [min] -> 1.20 [€]
...

Diese Zuordnungen lassen sich übersichtlich in einer Wertetabelle darstellen.

Ausgangsgröße:
Ausleihzeit [in min]
zugeordnete Größe:
Kosten [in €]
0 1
1 1.2
2
3
...

Aufgabe 1

Ergänze die Wertetabelle um einige Einträge.

Eine Zuordnung geometrisch beschreiben

Zuordnungspaare lassen sich geometrisch mit Punkten im Koordinatensystem veranschaulichen. Es entsteht der Graph der Zuordnung. Die folgende Animation verdeutlicht die Grundidee.

Zum Herunterladen: zuordnungen2.ggb

Aufgabe 2

Benutze die Animation, um eine geometrische Übersicht zur Zuordnung "Ausleihzeit [min] -> Kosten [€]" zu erstellen.

(a) Deute zunächst den bereits vorliegenden ersten Eintrag "0 -> 1".

(b) Weitere Einträge erhältst du, indem du die Ausleihzeit (z.B. die Zahl 1 für 1 Minute) in das linke Eingabefeld eingibst und die zugehörigen Gesamtkosten (für 1 Minute sind das 1.2€) in das rechte Eingabefeld eingist. Mit dem Button [übernehmen] wird der Eintrag in der Liste ergänzt und im Koordinatensystem verdeutlicht. Gib mindestens 5 weitere Einträge ein.

(c) Erkläre, wie man aus der tabellarischen Darstellung die geometrische Darstellung einer Zuordnung erhält. Kläre dabei folgende Fragen: Was wird auf der $x$-Achse abgetragen, was auf der $y$-Achse? Wie erhält man den Punkt zum Zuordnungspaar?

Eine Zordnung algebraisch beschreiben

Die Berechnung der Kosten zur Ausleihzeit lässt sich mit einer Funktionsgleichung beschreiben.

0 [min] -> 1         [€]
1 [min] -> 1 + 0.2   [€]
2 [min] -> 1 + 0.2*2 [€]
3 [min] -> 1 + 0.2*3 [€]
4 [min] -> 1 + 0.2*4 [€]
...
x [min] ->           [€]

Wir führen eine Variable $x$ für die Ausleihzeit ein. Mit $f(x)$ (bzw. $y$) beschreiben wir die Kosten zur Ausleihzeit $x$.

Aufgabe 3

(a) Ergänze zunächst die Funktionsgleichung $f(x) = ...$ zur Berechnung der Kosten für die Ausleihzeit $x$.

(b) Gib die Funktionsgleichung zusammen mit einem passenden Bereich (von xMin bis xMax mit der Schrittweide dx) in der Animation ein. Überschreibe hierzu die voreingestellten Eingabewerte. Kontrolliere deine Eingaben mit den Einträgen aus Aufgabe 1.

(c) Erläutere die Vorteile, wenn man eine Zuordnung mit einer Funktionsgleichung vom Typ $f(x) = ...$ beschreiben kann.

Zum Herunterladen: darstellungen2.ggb

Aufgabe 4

Wir fassen die Ergebnisse zusammen und führen fachsprachliche Begriffe ein. Verdeutliche diese Begriffe noch einmal im Kontext "E-Scooter-Verleih".

Zusammenfasung

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die aus (in der Regel) vielen Zuordnungspaaren besteht (wie z.B. 0 -> 1; 1 -> 1.2; ...). Die Zuordnung kann auch (wie im Beispiel oben) aus unendlich vielen Zuordnungspaaren bestehen.

Eine Funktion kann man tabellarisch mit einer Wertetabelle darstellen. Hierbei werden Zuordnungspaare tabellarisch aufgelistet. Oft beschränkt man sich darauf, nur einige charakterische Zuordnungspaare anzugeben.

Die Zuordnungspaare einer Funktion kann man geometrisch mit einem Funktionsgraph darstellen (sofern es sich um eine Zuordnung zwischen Zahlen handelt). Jeder Punkt des Graphen entspricht dabei einem Zuordnungspaar.

Meist versucht man, eine Funktion algebraisch mit einer Funktionsgleichung zu beschreiben. Mit Hilfe einer Variable werden die Ausgangswerte erfasst, mit einem Funktionsterm die zugeordneten Werte.

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