Berechnung einer Wurfweite

Die Nullstellen berechnen

Wir betrachten den im Applet vorgegebenen Hammerwurf.

Zum Herunterladen: hammerwurf2.ggb

Die Bahnkurve lässt sich mit der Funktion $f$ mit $f(x) = -0.01197 x^2 + 0.9004x + 1.78$ beschreiben.

Beim Aufprall des Hammers muss für den $x$-Wert des Hammerpunktes im Koordinatensystem die Bedingung $f(x) = 0$ erfüllt sein. Der gesuchte $x$-Wert ist somit eine Nullstelle der Funktion $f$.

Zur rechnerischen Bestimmung der Wurfweite muss man die Lösung(en) der Gleichung $f(x) = 0$ (bzw. die Nullstelle(n) der Funktion $f$) bestimmen. Beachte, dass die Gleichung $f(x) = 0$ eventuell mehrere Nullstellen hat.

Eine Formel zur Nullstellenberechnung benutzen

Für die oben vorgegebene Funktion sollen die Lösungen der Gleichung $f(x) = 0$ bestimmt werden. Es sollen also die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung bestimmt werden.

$-0.01197 x^2 + 0.9004x + 1.78 = 0$

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung kann man mit der a-b-c-Formel berechnen:

Die quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ (mit $a \neq 0$) hat die Lösungen $x_{1,2} = \displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$. Beachte, dass hier auch der Fall eintreten kann, dass es keine Lösung gibt, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel vorliegt.

Aufgabe 1

(a) Benutze die a-b-c-Formel, um die Lösungen der quadratischen Gleichung $-0.01197 x^2 + 0.9004x + 1.78 = 0$ zu bestimmen. Ermittle hierzu zunächst die konkreten Werte für $a$, $b$ und $c$ im vorliegenden Beispiel. Setze sie anschließend in die a-b-c-Formel ein.

(b) Die a-b-c-Formel liefert zwei Lösungen. Erläutere, wie man mit diesen Lösungen die gesuchte Wurfweite erhält.