Berechnung mit einer Faktorisierung

Ein Produkt analysieren

Wir betrachten den Fall, dass man der Funktionsterm der gegebenen Funktion $f$ als Produkt aus einfachen Teiltermen dargstellt ist.

Zum Herunterladen: nullstellentool2.ggb

Aufgabe 1

Gib die in der Tabelle vorgegebenen Funktionsterme im Applet ein und bestimme mit dem Applet die jeweiligen Nullstellen. Trage die Nullstellen in die Tabelle ein und kläre folgende Frage: Wie kann man (in den vorliegenden Beispielen) aus der Produktform direkt die Nullstellen erschließen?

Funktion	Nullstellen
$f(x)=(x+1)(x-2)(x-4)$	$x=-1$; $x=2$; $x=4$
$f(x)=x(x+4)$
$f(x)=x^2(x-2)(x+2)$
$f(x)=(x+1{)}^2(x-1{)}^2$
$f(x)=(x^2+1)(x-1)$
$f(x)=(x^2+1)(x^4+1)$
$f(x)=(2x-1)(-x+2)$
$f(x)=(2x-2)(x+1{)}^2$

Aufgabe 2

Verdeutliche mit Zahlen: Ein Produkt ergibt $0$ genau dann, wenn mindestens einer der Faktoren die $0$ ergibt.

Aufgabe 3

Erläutere die folgende Herleitung der Nullstellen von $f$ mit $f(x)=(2x-2)(x+1{)}^2$.

$\begin{array}{lcl}f(x)=0& \iff & 2x-2=0\text{ oder }(x+1{)}^2=0\\ & \iff & 2x=2\text{ oder }x+1=0\\ & \iff & x=1\text{ oder }x=-1\end{array}$

Aufgabe 4

Leite analog die Nullstellen der folgenden Funktionen her.

1. $f(x)=x(x+2)$
2. $f(x)=x^2(x-1)(x+4)$
3. $f(x)=-(x-2)(x+3{)}^2$
4. $f(x)=(2x+2)(-x-4)$