Berechnung mit einer Faktorisierung
Ein Produkt analysieren
Wir betrachten den Fall, dass man der Funktionsterm der gegebenen Funktion $f$ als Produkt aus einfachen Teiltermen dargstellt ist.
Zum Herunterladen: nullstellentool2.ggb
Aufgabe 1
Gib die in der Tabelle vorgegebenen Funktionsterme im Applet ein und bestimme mit dem Applet die jeweiligen Nullstellen. Trage die Nullstellen in die Tabelle ein und kläre folgende Frage: Wie kann man (in den vorliegenden Beispielen) aus der Produktform direkt die Nullstellen erschließen?
| Funktion | Nullstellen |
| $f(x) = (x+1)(x-2)(x-4)$ | $x = -1$; $x = 2$; $x = 4$ |
| $f(x) = x(x+4)$ | |
| $f(x) = x^2(x-2)(x+2)$ | |
| $f(x) = (x+1)^2(x-1)^2$ | |
| $f(x) = (x^2+1)(x-1)$ | |
| $f(x) = (x^2+1)(x^4+1)$ | |
| $f(x) = (2x-1)(-x+2)$ | |
| $f(x) = (2x-2)(x+1)^2$ |
Aufgabe 2
Verdeutliche mit Zahlen: Ein Produkt ergibt $0$ genau dann, wenn mindestens einer der Faktoren die $0$ ergibt.
Aufgabe 3
Erläutere die folgende Herleitung der Nullstellen von $f$ mit $f(x) = (2x-2)(x+1)^2$.
$\begin{array}{lcl} f(x) = 0 & \Leftrightarrow & 2x-2 = 0 \text{ oder } (x+1)^2 = 0 \\ & \Leftrightarrow & 2x = 2 \text{ oder } x+1 = 0 \\ & \Leftrightarrow & x = 1 \text{ oder } x = -1 \end{array}$
Aufgabe 4
Leite analog die Nullstellen der folgenden Funktionen her.
- $f(x) = x(x+2)$
- $f(x) = x^2(x-1)(x+4)$
- $f(x) = -(x-2)(x+3)^2$
- $f(x) = (2x+2)(-x-4)$
