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Faktorisierung mit einer Polynomdivision

Eine Nullstelle erraten

Manchmal gelingt es einem, eine Nullstelle einer Funktion durch Raten zu bestimmen. Mit diesem Wissen lässt sich dann eine (erste) Faktorisierung des Funktionsterms erstellen. Wir verdeutlichen das an folgendem Beispiel.

geg.: $f(x) = 2x^3 - 4x^2 -10x + 12$

ges.: Nullstellen von $f$

Aufgabe 1

(a) Zeige, dass $x = 1$ eine Nullstelle von $f$ ist, indem du $f(1)$ berechnest.

(b) Begründe, dass man $f(x)$ dann in der Produktform $f(x) = (x-1) \cdot (ax^2 + bx + c)$ darstellen kann. Der Faktor $x-1$ resultiert aus der jetzt bekannten Nullstelle $x = 1$. Beim Restfaktor $ax^2 + bx + c$ müssen noch die Werte für $a$, $b$ und $c$ bestimmt werden.

Den Restfaktor mit einer Polynomdivision ermitteln

Die folgende Animation verdeutlicht, was zu tun ist: Den Restfaktor erhält man, indem man die Division $f(x) : (x-1)$ der beiden Polynome ausführt.

Zum Herunterladen: polynomdivision1.ggb

Die Division wird analog zur Division von Zahlen ausgeführt. Auf der Seite Polynomdivision kannst du dir das Vorgehen im Detail anschauen. Die folgende Abbildung zeigt, was man eingibt und was man als Ergebnis erhält.

Wenn du auf dieser Seite im Eingabefeld "Dividend" den Term $2x^3 - 4x^2 - 10x + 12$ und im Eingabefeld "Divisor" den Term $x - 1$ eingibst, dann erhältst du folgende Rechnung.

(2x^3 - 4x^2 - 10x + 12) : (x - 1) = 2x^2 - 2x - 12
 2x^3 - 2x^2
 ----------------------
       -2x^3 - 10x
       -2x^3 +  2x
       ----------------
              -12x + 12
              -12x + 12
              ---------
                      0			  

Aufgabe 2

Schaue dir die Berechnung und die zugehörigen Kommentare auf der Seite Polynomdivision genau an. Erläutere das Vorgehen.

Alle Nullstellen ermitteln

Du weißt jetzt, dass man $f(x)$ in der Produktform $f(x) = (x-1) \cdot (2x^2 - 2x - 12)$ darstellen kann. Zudem kennst du eine Nullstelle von $f$ - nämlich $x = 1$.

Um alle Nullstellen von $f$ zu bestimmen musst du die Nullstellen der Restfaktorfunktion $g(x) = 2x^2 - 2x -12$ bestimmen.

Aufgabe 3

Bestimme die Nullstellen der Restfaktorfunktion $g(x)$ mit einem geeigneten Verfahren (z.B. durch Anwenden der a-b-c-Formel oder, indem du eine Nullstelle von $g(x)$ durch Ausprobieren "errätst" (Tipp: $x = 3$) und dann nochmal eine Polynomdivision durchführst.

Aufgabe 4

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen. Ermittle zuerst eine Nullstelle durch Ausprobieren (der Wert $-2$, $-1$, $1$, $2$)- Benutze dann eine Polynomdivision.

  1. $f(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$
  2. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 3x + 10$

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