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A/V-Verhältnis bei der Kugel

Das A/V-Verhältnis betrachten

Bei einer Kugel mit dem Radius $r$ können Volumen und Oberfläche mit folgenden Funktionen beschreiben:

$V(r) = \frac{4}{3} \pi r^r$ (Radius-Volumen-Funktion)

$A(r) = 4 \pi r^2$ (Radius-Oberfläche-Funktion)

Aufgabe 1

Ermittle (mit Hilfe dieser Funktionen) eine Funktion zur Beschreibung der Entwicklung des A/V-Verhältnisses bei der Kugel in Abhängigkeit vom Radius $r$.

$Q_{K}(r) = ...$

Das A/V-Verhältnis von Kugel und Würfel vergleichen

Der Vergleich des A/V-Verhältnisses von Kugel und Würfel fällt schwer, weil sie unterschiedliche variable Ausgangsgrößen benutzen: den Radius bei der Kugel und die Seitenlänge beim Würfel. Für einen Vergleich braucht man gleiche Ausgangsgrößen. Wir betrachten daher folgendes Problem:

Gegeben ist die Kantenlänge $a$ eines Würfels. Gesucht ist der Radius $R(a)$ einer Kugel, die dasselbe Volumen hat wie der Würfel mit Kantenlänge $a$.

Aufgabe 2

(a) Löse das Problem zunächst für konkrete $a$-Werte (z.B. $a = 10$ und $a = 20$).

(b) Entwickle anschließend eine Funktionsgleichung für die Funktion $R(a)$.

$R(a) = \left(\frac{3}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$ a

Aufgabe 3

(a) Betrachte eine Kugel mit dem Radius $R(a)$. Zeige, dass sie das Volumen $V(a) = a^3$ und die Oberfläche $A(a) = 4 \pi \left( \frac{3}{4\pi}\right)^{\frac{2}{3}}$ hat.

(b) Zeige, dass man somit für das A/V-Verhältnis der Kugel $Q_{K}(a) \approx \displaystyle{\frac{4.8}{a}}$ in Abhängigkeit von der Kantenlänge $a$ erhält.

(c) Vergleiche das A/V-Verhältnis von Kugel und Würfel. Warum ist es geschickter, in einer Schneelanschlaft ein Iglu zu bauen und nicht einen (halben) Eiswürfel? Begründe kurz.

Aufgabe 4

Verdeutliche nochmal die folgenden Begriffe und Zusammenhänge im aktuellen Kontext.

Zusammenfassung

Funktionen nutzt man, um Zusammenhänge zwischen Größen exakt zu erfassen.

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