A/V-Verhältnis bei der Kugel
Das A/V-Verhältnis betrachten
Bei einer Kugel mit dem Radius $r$ können Volumen und Oberfläche mit folgenden Funktionen beschreiben:
$V(r) = \frac{4}{3} \pi r^r$ (Radius-Volumen-Funktion)
$A(r) = 4 \pi r^2$ (Radius-Oberfläche-Funktion)
Aufgabe 1
Ermittle (mit Hilfe dieser Funktionen) eine Funktion zur Beschreibung der Entwicklung des A/V-Verhältnisses bei der Kugel in Abhängigkeit vom Radius $r$.
$Q_{K}(r) = ...$
Das A/V-Verhältnis von Kugel und Würfel vergleichen
Der Vergleich des A/V-Verhältnisses von Kugel und Würfel fällt schwer, weil sie unterschiedliche variable Ausgangsgrößen benutzen: den Radius bei der Kugel und die Seitenlänge beim Würfel. Für einen Vergleich braucht man gleiche Ausgangsgrößen. Wir betrachten daher folgendes Problem:
Gegeben ist die Kantenlänge $a$ eines Würfels. Gesucht ist der Radius $R(a)$ einer Kugel, die dasselbe Volumen hat wie der Würfel mit Kantenlänge $a$.
Aufgabe 2
(a) Löse das Problem zunächst für konkrete $a$-Werte (z.B. $a = 10$ und $a = 20$).
(b) Entwickle anschließend eine Funktionsgleichung für die Funktion $R(a)$.
$R(a) = \left(\frac{3}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$ a
Aufgabe 3
(a) Betrachte eine Kugel mit dem Radius $R(a)$. Zeige, dass sie das Volumen $V(a) = a^3$ und die Oberfläche $A(a) = 4 \pi \left( \frac{3}{4\pi}\right)^{\frac{2}{3}}$ hat.
(b) Zeige, dass man somit für das A/V-Verhältnis der Kugel $Q_{K}(a) \approx \displaystyle{\frac{4.8}{a}}$ in Abhängigkeit von der Kantenlänge $a$ erhält.
(c) Vergleiche das A/V-Verhältnis von Kugel und Würfel. Warum ist es geschickter, in einer Schneelanschlaft ein Iglu zu bauen und nicht einen (halben) Eiswürfel? Begründe kurz.
Aufgabe 4
Verdeutliche nochmal die folgenden Begriffe und Zusammenhänge im aktuellen Kontext.
Zusammenfassung
Funktionen nutzt man, um Zusammenhänge zwischen Größen exakt zu erfassen.
Quellen
- [1]: Gefrorene Seifenblase - Urheber: Ulrike Leone - Lizenz: Pixabay License
