Erarbeitung: Ebene beschreiben

Die Nivellierungsebene mit Ebenengleichungen beschreiben

Die Eckpunkte des Grundstücks wurden mit einer Drohne ausgemessen:

Punkte ein-/ausblenden

• $P1(3|-1|1.25)$
• $P2(2|0|1)$
• $P3(1|0|1.25)$
• $P4(1|2|0.5)$
• $P5(0|3|0)$
• $P6(0|0|1.5)$
• $P7(-1|-1|2.25)$
• $P8(0|-1|2)$
• $P9(0|-2|2.5)$
• $P10(1|-3|2.5)$
• $P11(1|-2|2.25)$

Als Nivellierungspunkte sollen die Punkte $P2(2|0|1)$, $P5(0|3|0)$ und $P6(0|0|1.5)$ dienen. An diesen Stellen wird das Grundstück mit bestehenden Straßen und Gas-Leitungen verbunden; daher sollen sie nicht verändert werden. Diese drei Punkte legen die Bezugsebene $E$ fest, in der das gesamte Grundstück nach der Nivellierung liegen soll.

Aufgabe 4

(a) Begründe, dass sich die Ebene durch $P2$, $P5$ und $P6$ mit dieser Ebenengleichung beschreiben lässt:

$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1.5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -0.5 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -1.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

(b) Wandle die Ebenengleichung in eine Ebenengleichung in Normalenform um.

🔑 Kontrollergebnis

$E: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1.5 \end{array}\right) \right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$

Zum Herunterladen: gelaende1.ggb