Überprüfung – Alles klar?
Aufgabe 1
Gegeben sind die drei Vektoren
$\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$,
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)$ und
$\vec{w} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$.
Welche dieser Vektoren sind orthogonal zueinander? Begründe mit dem Skalarprodukt.
🔑 Lösung
- $\vec{u} \perp \vec{v}$, da $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 0$.
- $\vec{u} \perp \vec{w}$, da $\vec{u} \cdot \vec{w} = 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 0$.
- $\vec{v} \perp \vec{w}$, da $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0 \cdot (-2) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
Aufgabe 2
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$, der wie im Applet unter der Aufgabe gezeigt im Koordinatensystem liegt.
Wenn man benachbarte Seitenmitten des Würfels miteinander verbindet, erhält man einen Oktaeder.
(a) Wie begründet man mit Hilfe geeigneter Vektoren, dass das Viereck $LIJK$ nur rechte Winkel hat? Führe die Rechnungen exemplarisch durch.
🔑 Lösung
Man zeigt, dass
$\overrightarrow{ IJ } \cdot \overrightarrow{ IL } = 0$, $\overrightarrow{ JI } \cdot \overrightarrow{ JK } = 0$, ...
Es gilt:
$\overrightarrow{ IJ } \cdot \overrightarrow{ IL } =
\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)=
(-2) \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 = 0$
(b) Wie begründet man mit Hilfe geeigneter Vektoren, dass das Dreieck $IJN$ keine rechten Winkel hat. Führe die Rechnungen exemplarisch durch.
🔑 Lösung
Man zeigt, dass
$\overrightarrow{ IJ } \cdot \overrightarrow{ IN } \neq 0$, $\overrightarrow{ JI } \cdot \overrightarrow{ JN } \neq 0$, ...
Es gilt:
$\overrightarrow{ IJ } \cdot \overrightarrow{ IN } =
\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)=
(-2) \cdot (-2) + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 = 4 \neq 0$
Zum Herunterladen: oktaeder.ggb
Aufgabe 3
(a) Gegeben ist der Vektor $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \end{array}\right)$.
Gesucht sind Vektoren, die orthogonal zu $\vec{u}$ sind.
🔑 Lösung
Gesucht ist ein Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right)$ mit:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ bzw.
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right) = 0$ bzw.
$2v_1 - 6 v_2 = 0$.
Hierbei kann nun $v_1$ (oder $v_2$) frei ausgewählt und dann die andere Zahl passend berechnet werden.
Lösungen: z.B.
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right)$,
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array}\right)$,
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -1/3 \end{array}\right)$.
(b) Gegeben ist der Vektor $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 1 \end{array}\right)$.
Gesucht sind (linear unabhängige) Vektoren, die orthogonal zu $\vec{u}$ sind.
🔑 Lösung
Gesucht ist ein Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)$ mit:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ bzw.
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right) = 0$ bzw.
$2v_1 - 6 v_2 + v_3 = 0$.
Hier können sogar zwei der drei Variablen frei ausgewählt und dann die dritte passend hierzu berechnet werden.
Lösungen: z.B.
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$,
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$,
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right)$,
$\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$,
