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Strukturierung – Ebenengleichung in Normalenform

Eine Ebene positionieren und ausrichten

Zielsetzung

In der Parameterform wurden Ebenen durch drei Größen beschrieben: Einen Stützvektor und zwei Spannvektoren. Man kann Ebenen aber auch mit nur zwei Größen beschreiben:

Wie bisher benötigen wir einen Stützpunkt $P$ bzw. den Stützvektor $\vec{O P}$ der Ebene.
Zusätzlich wird die Ausrichtung durch den Vektor $\vec{n}$ bestimmt, der senkrecht/orthogonal zur Ebene verläuft. Ein solcher Vektor wird Normalenvektor der Ebene genannt.

Auf dieser Seite soll erst geklärt werden, ob man mit diesen beiden Größen wirklich eine Ebene darstellen kann, und wie man dadurch eine rechnerische Ebenengleichung erhält.

Aufgabe 1 (Einstieg; Erarbeitung)

Im Applet unter der Aufgabe kannst du den Stützvektor und den Normalenvektor mithilfe von Schiebereglern verschieben. Ziel ist es, vorgegebene Ebenen mathematisch zu beschreiben und darin Überlegungen zur Punktprobe anzustellen. Als Orientierung dient ein Würfel der Seitenlänge $4$ .

(a) Stelle den Stützvektor auf $\vec{p} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})$ und den Richtungsvektor auf $\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ . Erkläre anhand der Vektoren, warum so die Ebene durch die Punkte $E$ , $F$ , $G$ und $H$ (Deckelseite des Würfels) beschrieben wird.

(b) Suche einen anderen Stützvektor und einen anderen Normalenvektor für dieselbe Ebene.

(c) Der Punkt $D (0 | 4 | 0)$ liegt offensichtlich nicht auf der Ebene. Drücke das mit der Orthogonalität passender Vektoren aus. Überprüfe mit dem Tool unter der Aufgabe.

(d) Der Punkt $E (0 | 0 | 4)$ liegt offensichtlich auf der Ebene. Drücke auch das mit der Orthogonalität passender Vektoren aus. Überprüfe mit dem Tool unter der Aufgabe.

Wiederhole nun die Schritte (a) bis (e) für andere Ebenen: Finde erst passende Stütz- und Richtungsvektoren und führe dann Punktproben durch. Dokumentiere deine Ergebnisse; nutze dafür z.B. dieses Arbeitsblatt.

Vorschläge für weitere Ebenen

Ebene durch $E$ , $F$ , $B$ , $A$
Ebene durch $B$ , $C$ , $G$ , $F$
Ebene durch $A$ , $D$ , $H$ , $E$
Ebene durch $E$ , $F$ , $C$ , $D$
Ebene durch $B$ , $C$ , $H$ , $E$
Ebene durch $F$ , $C$ , $H$
Ebene durch $E$ , $B$ , $D$

Zum Herunterladen: normalenform2.ggb

Orthogonalitäts-Prüfer

Du kannst das folgende Tool verwenden, um die Orthogonalität von Vektoren zu überprüfen. Gib hierzu oben die Koordinaten der Vektoren ein, deren Orthogonalität du überprüfen möchtest.

Zum Herunterladen: ortho-pruefer.ggb

Aufgabe 2 (Sicherung; Vertiefung)

(a) Unser Ziel ist es, eine Ebene mathematisch (z.B. mit einer Gleichung) zu beschreiben. Zu einer Ebene mit Stützpunkt $P$ und Normalenvektor $\vec{n}$ gehört dieser Ausdruck:

$E : \vec{P X} ⊥ \vec{n} .$

Erkläre ihn: „Ein Punkt $X$ liegt genau dann in der Ebene, wenn ...“

(b) Vergleiche diesen neuen Ausdruck mit der Ebenengleichung in Parameterform. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede stellst du fest?

💡 Erinnerung an die Parameterform

Den Ausdruck $E : \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$ (mit $r, s \in R$ ) haben wir so gedeutet:

Ein Punkt $X$ liegt genau dann in der Ebene, wenn wir Parameter $r$ und $s$ finden, sodass $\vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$ .

(c) Man kann für dieselbe Ebene verschiedene Stützvektoren und Normalenvektoren nutzen. Beschreibe, wie man sie verändern darf. Was ist für die beiden Vektoren jeweils die entscheidende Eigenschaft?

(d) ✏️️ Fasse den bisherigen Zwischenstand zusammen:

Ebenen beschreiben mit einem Normalenvektor

Wir können Ebenen so beschreiben:

Wir nutzen einen Stützpunkt $P$ . Er muss ...
Wir nutzen einen Normalenvektor $\vec{n}$ . Er muss ...

Ein Punkt $X$ liegt genau dann in der Ebene, wenn ...

Das kann man so kurz ausdrücken: $E : \vec{P X} ⊥ \vec{n}$ .

Die Positionierung rechnerisch beschreiben

Die Bedingung $\vec{P X} ⊥ \vec{n}$ lässt sich auch rechnerisch überprüfen.

Aufgabe 3 (Einstieg; Erarbeitung)

Im Applet unter der Aufgabe ist die Ebene dargestellt, die mit $\vec{p} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})$ und $\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ vorgegeben wird. Du kannst den Punkt $X$ verschieben. Im oberen Fenster siehst du dann verschiedene Berechnungen.

(a) Navigiere $X$ zu $(6 | - 2 | 7)$ . Begründe sowohl am unteren wie auch am oberen Fenster, dass $X (6 | - 2 | 7)$ nicht in der Ebene liegt.

🔑 Lösung

Im unteren Fenster erkennen wir direkt, dass $\vec{P X} ⊥̸ \vec{n}$ .

Rechnerisch sehen wir: $\vec{P X} \cdot \vec{n} = (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = [(\begin{matrix} 6 \\ - 2 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0 - 2 + 6 = 4$

Da $\vec{P X} ⊥̸ \vec{n}$ , liegt $X$ nicht in der Ebene.

(b) Untersuche auf dieselbe Weise auch diese Punkte:

$X (6 | - 2 | 6)$
$X (6 | - 2 | 5)$
$X (6 | 0 | 4)$
$X (5 | 0 | 4)$
$X (0 | 2 | 4)$
$X (6 | 2 | 3)$

(c) Beschreibe, wie man die Bedingung $\vec{P X} ⊥ \vec{n}$ rechnerisch überprüfen kann. Nutze dafür eine Formel.

Zum Herunterladen: normalenform3.ggb

Aufgabe 4 (Sicherung; Vertiefung)

In Aufgabe 2 haben wir eine Ebene so beschrieben: $\vec{P X} ⊥ \vec{n}$ . Das lässt sich nun rechnerisch fassen:

Ebenengleichung in Normalenform

Eine Ebene wird beschrieben durch die Gleichung: $E : [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0$ , wobei $\vec{n}$ nicht der Nullvektor ist.

(a) Erkläre die Bestandteile der Gleichung. Nutze dafür die LearningApp unter der Aufgabe.

(b) Vervollständige diese Erklärungen:

„Wenn bei der Berechnung von $[\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n}$ null herauskommt, dann ... Deshalb liegt $X$ in der Ebene“.
„Wenn bei der Berechnung von $[\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n}$ nicht null herauskommt, dann ... Deshalb liegt $X$ nicht in der Ebene“.

(c) ✏️️ Halte das Gelernte in diesem Wissensspeicher fest.

(d) Erkläre, warum $\vec{n}$ nicht der Nullvektor sein darf. Darf $\vec{p}$ der Nullvektor sein?