Erarbeitung: Punktproben und Einebnung
Strategie
1. Wähle drei Nivellierungspunkte, die schon richtig liegen.
2a. Stelle eine Ebenengleichung in Parameterform für die Ebene durch die drei Punkte auf.
2b. Wandle die Ebenengleichung in eine Ebenengleichung in Normalenform um.
3. Mache Punktproben für die verbleibenden Punkte.
4. Passe bei den Punkten, die nicht in der Ebene liegen, die $x_3$-Koordinate an.
Das Überprüfen von Punkten weiter vereinfachen
Janina hat schon fleißig einige Punktproben durchgeführt. Dabei kam sie auf eine Idee, wie das noch einfacher gehen könnte ...
Aufgabe 6
(a) Janina hat damit begonnen, die Gleichung in Normalenform umzuformen. Erkläre die einzelnen Schritte.
$\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1.5 \end{array}\right) \right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$
$\Leftrightarrow$ $\left[\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1.5 \end{array}\right) \right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$
$\Leftrightarrow$ $\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 - 1.5 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$
(b) Rechne das Skalarprodukt auf der linken Seite der Gleichung aus und vereinfache die Gleichung soweit wie möglich. Bringe alle Zahlen ohne $x$-Koordinate auf die rechte Seite der Gleichung.
Aufgabe 7
Benutze die Gleichung $1.5 x_1 + 3 x_2 + 6 x_3 = 9$, um zu überprüfen, ob alle Punkte in der Ebene $E$ liegen. Dokumentiere die Ergebnisse, z.B. so:
$P7(-1|-1|2.5)$: $1.5 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) + 6 \cdot 2.5 = -1.5 - 3 + 13.5 = 9$ $\Rightarrow$ $P7$ liegt in $E$.
Aufgabe 8 🚀
Benutze die Gleichung $1.5x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 9$, um die $x_3$-Koordinate der Punkte, die nicht in $E$ liegen, so anzupassen, dass das Grundstück eben ist. Korrigiere die Punkte dann auch im Applet unter der Aufgabe.
Zum Herunterladen: gelaende2.ggb
