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Zusammenfassung – Koordinatendarstellung von Ebenen und Geraden

Die Grundidee

Eine Ebene im 3D-Raum lässt sich mit einer Ebenengleichung in Normalenform algebraisch beschreiben. Durch Umformen kann man eine Ebenengleichung in Normalenform äquivalent in eine Ebenengleichung in Koordinatenform überführen.

Das Applet verdeutlicht diese Sichtweise: gleiche Grundidee, nur eine andere Darstellung.

Zum Herunterladen: koordinatenform1.ggb

Die Mathematisierung

Wir zeigen die Umwandlung einer Ebenengleichung in Normalenform in eine Ebenengleichung in Koordinatenform zuerst am Beispiel auf.

Beispiel

$E : [\vec{x} - (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = 0$ $\Leftrightarrow$

$E : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = 0$ $\Leftrightarrow$

$E : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$ $\Leftrightarrow$

$E : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$ $\Leftrightarrow$

$E : x_{1} \cdot 1 + x_{2} \cdot 0 + x_{3} \cdot 2 = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2$ $\Leftrightarrow$

$E : x_{1} + 2 x_{3} = 7$

Eine solche Umwandlung ist für jede Ebenengleichung in Normalenform möglich. Beachte, dass die hier gezeigte Umwandlung Rechengesetze für das Skalarprodukt benutzt (hier: das Distributivgesetz zum Ausmultiplizieren von Klammern). Wir werden diese Rechengesetze im Kapitel Skalarprodukt thematisieren.

Allgemeine Umformung

$E : (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ $\Leftrightarrow$

$E : [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) = 0$ $\Leftrightarrow$

$E : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) = 0$ $\Leftrightarrow$

$E : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix})$ $\Leftrightarrow$

$E : x_{1} \cdot n_{1} + x_{2} \cdot n_{2} + x_{3} \cdot n_{3} = p_{1} \cdot n_{1} + p_{2} \cdot n_{2} + p_{3} \cdot n_{3}$ $\Leftrightarrow$

$E : \underset{a}{\underset{⏟}{n_{1}}} x_{1} + \underset{b}{\underset{⏟}{n_{2}}} x_{2} + \underset{c}{\underset{⏟}{n_{3}}} x_{3} = \underset{d}{\underset{⏟}{p_{1} \cdot n_{1} + p_{2} \cdot n_{2} + p_{3} \cdot n_{3}}}$

Diese Umformung lässt sich auch in die andere Richtung durchführen, solange mindestens eine der Zahlen $a, b, c$ ungleich 0 ist:

Beispiel

$E : 2 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} = 7$ $\Leftrightarrow$

$E : 2 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} = 2 \cdot 2 + (- 1) \cdot 1 + 4 \cdot 1$ $\Leftrightarrow$

$E : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{matrix})$ $\Leftrightarrow$

$E : [\vec{x} - (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{matrix}) = 0$

Die Ergebnisse lassen sich so zusammenfassen:

Satz

Jede Ebene $E$ im 3D-Raum lässt sich mit einer linearen Gleichung der Gestalt $E : a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = d$ beschreiben. Dabei sind $a, b, c, d$ reelle Zahlen. Mindestens eine der Zahlen $a, b, c$ ist ungleich 0 (da diese Zahlen einen Normalenvektor der Ebene $E$ darstellen).
Jede lineare Gleichung der Gestalt $a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = d$ mit reellen Zahlen $a, b, c, d$ (wobei ), stellt eine Ebene im 3D-Raum dar.

Der 2D-Fall

Im 2D-Fall gelten völlig analoge Zusammenhänge. Hier betrachtet man die Darstellung von Geraden mit Hilfe geeigneter Gleichungen.

Zum Herunterladen: koordinatenform_2d.ggb

Das Applet verdeutlicht, dass eine Gerade in der 2D-Ebene mit Hilfe einer linearen Gleichung beschrieben werden kann. Das hast du bereits in der Mittelstufe kennen gelernt. Neu ist hier der Zusammenhang zur Geradendarstellung mit einer Gleichung in Normalenform.

Satz

Jede Gerade $g$ in der 2D-Ebene lässt sich mit einer linearen Gleichung der Gestalt $E : a x_{1} + b x_{2} = c$ beschreiben. Dabei sind $a, b, c$ reelle Zahlen. Mindestens eine der Zahlen $a, b$ ist ungleich 0 (da diese Zahlen einen Normalenvektor der Geraden $g$ darstellen).
Jede lineare Gleichung der Gestalt $a x_{1} + b x_{2} = c$ mit reellen Zahlen $a, b, c$ (wobei mindestens eine der Zahlen $a, b$ ungleich 0 ist), stellt eine Gerade in der 2D-Ebene dar.

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