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Vertiefung – Konstruktion orthogonaler Vektoren

Zielsetzung

Du kannst bereits überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander sind. Auf dieser Seite wird das Problem umgedreht: Ein Vektor $\vec{v}$ ist vorgegeben und es soll ein weiterer Vektor gefunden werden, der orthogonal zu $\vec{v}$ steht.

Ein Rechteck konstruieren

Eine Seite eines Rechtecks ist mit den Punkten $A (- 3 | 1)$ und $B (3 | 3)$ bereits vorgegeben. Diese Seite soll zu einem Rechteck $A B C D$ ergänzt werden.

Aufgabe 1 (Einstieg)

(a) Finde einen möglichen Punkt D durch Ausprobieren.

(b) Wie kann man einen geeigneten Punkt finden, wenn man kein Applet zur Verfügung hat? Beschreibe, wie man vorgehen kann.

🔑 Lösung

Man stellt eine Orthogonalitätsbedingung auf: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
Im Anschluss sucht man geeignete Werte für $v_{1}$ und $v_{2}$ .

Zum Herunterladen: skalarprodukt3.ggb

Aufgabe 2 (Erarbeitung)

(a) Vereinfache die Orthogonalitätsbedingung so weit wie möglich..

🔑 Lösung

Es gilt: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ genau dann, wenn $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = 0$ genau dann, wenn $6 v_{1} + 2 v_{2} = 0$ .

(b) Bestimme mögliche Lösungen dieser Gleichung in der Form $(v_{1}; v_{2}) = (. . .; . . .)$ .

(c) Begründe (geometrisch und rechnerisch): Es gibt unendlich viele Vektoren, die die Orthogonalitätsbedingung erfüllen.

(d) Bestimme für ein mögliches Rechteck die Koordinaten der Punkte $C$ und $D$ . Dokumentiere die Überlegungen und Rechnungen.

Aufgabe 3 (Sicherung)

✏️️ Notiere dir ein Beispiel, wie man im Zweidimensionalen einen orthogonalen Vektor konstruiert:

Orthogonale Vektoren konstruieren

Zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ findet man unendlich viele orthogonale Vektoren $\vec{v}$ . Dazu geht man so vor ...

Aufgabe 4 (Vertiefung)

(a) Q. behauptet: Wenn ich zum Vektor $\vec{u} = (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$ den Vektor $\vec{v} = (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \end{matrix})$ wähle, erhalte ich sogar ein Quadrat. Stimmt das? Untersuche und Begründe.

(b) Erläutere auch die Strategie, die Q. hier benutzt hat, um ganz schnell zum Vektor $\vec{v}$ zu gelangen.

Eine Orthotour konstruieren

Ein Käfer soll eine Orthotour fliegen. Eine Orthotour soll eine Tour sein, bei der der Käfer immer einen Teilweg geradeaus fliegt und dann die Richtung so abändert, dass der nächste Teilweg orthogonal zum vorherigen Teilweg ist.

Aufgabe 5 (Erarbeitung)

Konstruiere alleine oder mit einem Partner schrittweise eine Orthotour:

Die Tour soll am Ursprung $(0 | 0 | 0)$ starten. Beginnt dann z.B. mit dem Vektor $\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})$ . Findet einen dazu orthogonalen Vektor und so weiter.

💡 Hilfestellung

Das erste Teilstück soll mit den Bewegungsvektor $\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})$ erfolgen.

Der nächste Bewegungsvektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$ soll dann so konstruiert werden, dass er orthogonal zum vorherigen Bewegungsvektor $\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})$ ist.

Folgende Bedingung muss also erfüllt sein:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ bzw. $(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) = 0$ bzw. $v_{1} + 4 v_{2} + 2 v_{3} = 0$ .

Gesucht ist jetzt eine Lösung dieser Gleichung. Dazu gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Wir schränken die Möglichkeiten etwas ein. Tatsächlich können wir, weil wir nur eine Gleichung und drei Unbekannte haben, einfach zwei Werte festlegen. z.B. können wir fordern, dass $v_{1} = 2$ und $v_{2} = 1$ . Wie muss dann $v_{3}$ lauten?

Und so weiter ... Jetzt beschreibt $\vec{u} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix})$ den vorherigen Teilweg. Gesucht ist eine Fortsetzung mit $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$ , die orthogonal zum vorherigen Teilweg ist.

Zur Kontrolle könnt ihr eines der folgenden beiden Tools verwenden.

Tool 1 – im Schulbuch

Zum Herunterladen: drohne3d.ggb

Anleitung für das Applet

Drücke auf den Button „Drohne startklar machen“. Jetzt kannst du die Bewegungsdaten (rot, oben links) verändern. Drücke nun auf „Drohne fliegen lassen“; die Drohne fliegt zum neuen Punkt $P^{'}$ . Drücke nun auf „Neue Drohnenposition anzeigen“ und in der Grafik oben werden die Koordinaten von $P^{'}$ angezeigt.

Nun kannst du erneut auf „Drohne startklar machen“ klicken. Danach ist $P$ auf der Position des vorherigen $P^{'}$ und du kannst die Drohne von hier aus weiter steuern.

Tool 2 – Beetle Blocks

Auf der Seite beetleblocks.com findest du eine Programmierumgebung, mit der man die Bewegung einer Drohne im 3D-Raum simulieren kann. Die Programmierumgebung stellt Programmierblöcke bereit, mit denen man auch kompliziertere Bewegungen selbst programmieren kann. Beachte, dass du mit einem Wechsel auf diese Seiten das Schulbuch verlässt.

Importiere zuerst die Datei vektor.xml. Mit den Blöcken [Bewegung] und [Ausgangspunkt] kannst du jetzt analog zum 2D-Fall die Bewegung einer Drohne festlegen.

Wie importiere ich die xml-Datei?

Klicke mit der rechten Maustaste auf den Link vektor.xml und speichere die Datei (Ziel speichern unter...) in einem Ordner.

Öffne die Seite beetleblocks.com und klicke oben rechts auf „Run Beetle Blocks“.

Klicke in der Menu-Leiste links oben auf das Dateisymbol und wähle anschließend „Import project or blocks“ aus.

Navigiere zum Ordner, in dem du die xml-Datei gespeichert hast, wähle sie aus und klicke auf „Öffnen“.

Wie bewege ich den Käfer?

In der mittleren Spalte siehst du die hellblauen Blöcke, die durch die Datei vektor.xml importiert wurden. Du kannst im Ausgangspunkt-Block die drei Koordinaten des Ausgangspunktes ändern und in einem Bewegungs-Block die Einträge der Bewegung ändern. Die einzelnen Blöcke lassen sich durch Verschieben auch neu anordnen oder löschen.

Wenn du weitere Bewegungsblöcke brauchst, kannst du in er linken Spalte unter „My blocks“ einen neuen Block auswählen und unter die bisherigen Blöcke ziehen.

Wenn du auf ein Block-Paket klickst, erhält es kurz einen grünen Rahmen und der Käfer im rechten Fenster fliegt die angegebene Bewegung.

Aufgabe 6 (Sicherung)

✏️️ Notiere dir eines der Beispiele der vorherigen Aufgabe als Beispiel dafür, wie man orthogonale Vektoren im dreidimensionalen Raum konstruiert.

Einen Quader konstruieren

Ein Quader ist ein 3D-Körper, dessen Seitenflächen alle rechteckig sind. Kanten, die an den Ecken zusammenstoßen, müssen also jeweils orthogonal zueinander sein.

Es ist gar nicht so einfach, einen Quader im Raum zu konstruieren. Durch Probieren kommt man hier nicht so einfach zu Ergebnissen. Ziel ist es, ein Verfahren für die Quaderkonstruktion mit Hilfe von Vektorgeometrie zu entwickeln. Dazu soll der Quader von einem Punkt $P$ im 3D-Raum mit drei Vektoren $\vec{u}$ , $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aufgespannt werden.

Das Applet zeigt einen ersten Versuch. Offensichtlich ist hier kein Quader entstanden.

Zum Herunterladen: quader3.ggb

Aufgabe 7 (Vertiefung)

(a) Behalte die Koordinaten von $\vec{u}$ bei. Verändere in einem ersten Schritt die Koordinaten von $\vec{v}$ so, dass die beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ orthogonal zueinander sind. Stelle hierzu erst einmal eine Orthogonalitätsbedingung in Form einer Gleichung auf und bestimme eine Lösung dieser Gleichung. Kontrolliere mit dem Applet.

💡 Orthogonalitätsbedingung

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ bzw. $(\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) = 0$ bzw. $4 v_{1} + 3 v_{2} + 4 v_{3} = 0$ .

Lösung: z.B. $(v_{1}; v_{2}; v_{3}) = (0; - 4; 3)$

(b) Behalte jetzt die Koordinaten von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ bei. Ziel ist es, die Koordinaten von $\vec{w}$ so abzuändern, dass $\vec{w}$ orthogonal zu $\vec{u}$ und orthogonal zu $\vec{v}$ ist. Stelle eine geeignete Orthogonalitätsbedingung in Form von zwei Gleichungen auf und bestimme eine Lösung dieses Gleichungssystems. Kontrolliere mit dem Applet.

💡 Hinweis

Wir nutzen hier das Ergebnis $\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix})$ aus dem vorherigen Tipp.

Orthogonalitätsbedingung:

$\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ und $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$ bzw. $(\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix}) = 0$ und $(\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix}) = 0$ bzw.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 4 w_{1} & + & 3 w_{2} & + & 4 w_{3} & = & 0 \\ [2] & + & - 4 w_{2} & + & 3 w_{3} & = & 0 \end{array}$

Lösung: z.B. $(w_{1}; w_{2}; w_{3}) = (- 6.25; - 4; 3)$

(c) Es gibt viele verschiedene Quader, die man hier konstruieren kann. Entwickle selbst mindestens einen weiteren Quader und dokumentiere die Überlegungen und Rechnungen.