Schnittpunktberechnung
Zielsetzung
Hier wollen wir Schnittpunkte von einer Gerade und einer Ebene bestimmen. Wir können das bereits, wenn die Ebene in Parameterform gegeben ist. Doch wie sieht es aus, wenn wir eine Ebene in Normalenform oder Koordinatenform vor uns haben?
Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene in Normalenform bestimmen
Betrachte folgende Situation: Gegeben ist eine Ebene $E$ mit einer Ebenengleichung in Normalenform und eine Gerade $g$ mit einer Geradengleichung in Parameterform:
$E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
Gesucht ist der Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$.
Aufgabe 1 (Einstieg)
Bestimme den Schnittpunkt mithilfe des folgenden Applets. Du must hierzu nur den richtigen Wert des Parameters $t$ finden. Erkläre, wie man in der oberen Hälfte des Applets erkennen kann, dass man den richtigen Wert gefunden hat.
Zum Herunterladen: schnittpunkt1.ggb
Aufgabe 2 (Erarbeitung)
(a) Erläutere (auch mit Hilfe des Applets): Den Schnittpunkt kann man rechnerisch ermitteln, indem man $t$ so bestimmt, dass die folgende Gleichung erfüllt ist:
$\left[\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
(b) Forme die Gleichung um und rechne so $t$ aus.
(c) Erläutere, wie man mit der Lösung $t = -1$ die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ erhält.
Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene in Koordinatenform bestimmen
Betrachte jetzt diese Situation: Gegeben ist dieselbe Ebene $E$ wie oben – jetzt aber mit einer Ebenengleichung in Koordinatenform – und dieselbe Gerade $g$ wie oben:
$E : 0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 = 6$
$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
Gesucht ist der Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$.
Aufgabe 3 (Einstieg)
Bestimme den Schnittpunkt mithilfe des folgenden Applets. Du must hierzu nur den richtigen Wert des Parameters $t$ finden. Erkläre, wie man in der oberen Hälfte des Applets erkennen kann, dass man den richtigen Wert gefunden hat.
Zum Herunterladen: schnittpunkt2.ggb
Aufgabe 4 (Erarbeitung)
(a) Erläutere (auch mit Hilfe des Applets): Den Schnittpunkt kann man rechnerisch ermitteln, indem man $t$ so bestimmt, dass die folgende Gleichung erfüllt ist:
$0 \cdot (3-t) + 1 \cdot (2+2t) + 2 \cdot (4+t) = 6$
(b) Löse die Gleichung.
(c) Erläutere, wie man mit der Lösung $t = -1$ die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ erhält.
Drei Vorgehensweisen im Vergleich
Du kannst Schnittpunkte von Ebenen und Geraden nun auf drei Wege bestimmen – mit einer Ebenengleichung in Parameterform (LGS lösen), in Normalenform (s. Aufgabe 2) oder in Koordinatenform (s. Aufgabe 4).
Aufgabe 5 (Sicherung)
(a) Beschreibe noch einmal für jede der drei Wege den Aufwand. Welche Ebenengleichung ist für diese Problemstellung am besten geeignet?
(b) ✏️ Notiere dir ein Muster-Beispiel zur Schnittpunktberechnung.
Schnittpunkt Gerade-Ebene
Das geht am einfachsten mit einer Ebenengleichung in ...
Man bestimmt den Schnittpunkt so: ...
Beispiel: ...
