Schnittpunktberechnung

Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene in Normalenform bestimmen

Betrachte folgende Situation: Gegeben ist eine Ebene $E$ mit einer Ebenengleichung in Normalenform und eine Gerade $g$ mit einer Geradengleichung in Parameterform:

$E:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Gesucht ist der Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$.

Aufgabe 1 (Einstieg)

Bestimme den Schnittpunkt mithilfe des folgenden Applets. Du must hierzu nur den richtigen Wert des Parameters $t$ finden. Erkläre, wie man in der oberen Hälfte des Applets erkennen kann, dass man den richtigen Wert gefunden hat.

Zum Herunterladen: schnittpunkt1.ggb

Aufgabe 2 (Erarbeitung)

(a) Erläutere (auch mit Hilfe des Applets): Den Schnittpunkt kann man rechnerisch ermitteln, indem man $t$ so bestimmt, dass die folgende Gleichung erfüllt ist:

$[\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$

(b) Forme die Gleichung um und rechne so $t$ aus.

💡 Hilfe

Stattdessen kannst du auch jeden der folgenden Umformungsschritte erläutern:

$[\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$ $\iff$

$[\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$ $\iff$

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$ $\iff$

$4+t\cdot 4=0$ $\iff$

$4t=-4$ $\iff$

$t=-1$

(c) Erläutere, wie man mit der Lösung $t=-1$ die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ erhält.

Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene in Koordinatenform bestimmen

Betrachte jetzt diese Situation: Gegeben ist dieselbe Ebene $E$ wie oben – jetzt aber mit einer Ebenengleichung in Koordinatenform – und dieselbe Gerade $g$ wie oben:

$E:0\cdot x_1+1\cdot x_2+2\cdot x_3=6$

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Gesucht ist der Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$.

Aufgabe 3 (Einstieg)

Bestimme den Schnittpunkt mithilfe des folgenden Applets. Du must hierzu nur den richtigen Wert des Parameters $t$ finden. Erkläre, wie man in der oberen Hälfte des Applets erkennen kann, dass man den richtigen Wert gefunden hat.

Zum Herunterladen: schnittpunkt2.ggb

Aufgabe 4 (Erarbeitung)

(a) Erläutere (auch mit Hilfe des Applets): Den Schnittpunkt kann man rechnerisch ermitteln, indem man $t$ so bestimmt, dass die folgende Gleichung erfüllt ist:

$0\cdot (3-t)+1\cdot (2+2t)+2\cdot (4+t)=6$

(b) Löse die Gleichung.

💡 Hilfe

Stattdessen kannst du auch jeden der folgenden Umformungsschritte erläutern:

$0\cdot (3-t)+1\cdot (2+2t)+2\cdot (4+t)=6$ $\iff$

$2+2t+8+2t=6$ $\iff$

$10+4t=6$ $\iff$

$4t=-4$ $\iff$

$t=-1$

(c) Erläutere, wie man mit der Lösung $t=-1$ die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ erhält.

Drei Vorgehensweisen im Vergleich

Du kannst Schnittpunkte von Ebenen und Geraden nun auf drei Wege bestimmen – mit einer Ebenengleichung in Parameterform (LGS lösen), in Normalenform (s. Aufgabe 2) oder in Koordinatenform (s. Aufgabe 4).

Aufgabe 5 (Sicherung)

(a) Beschreibe noch einmal für jede der drei Wege den Aufwand. Welche Ebenengleichung ist für diese Problemstellung am besten geeignet?

(b) ✏️ Notiere dir ein Muster-Beispiel zur Schnittpunktberechnung.