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Strukturierung – Eine Orthogonalitätsbedingung

Ein Beispiel betrachten

Wie prüft man, ob zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal sind?

Aufgabe 1 (Einstieg)

Das Applet unter der Aufgabe verdeutlicht das allgemeine Vorgehen einer Orthogonalitätsüberprüfung.

Erläutere mithilfe des Applets, wie man vorgehen kann, um die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ auf Orthogonalität zu überprüfen.

Zum Herunterladen: orthovektoren3.ggb

Zielsetzung

Man kann das Vorgehen noch etwas vereinfachen, um eine ganz simple Formel zur Orthogonalitätsüberprüfung zu erhalten.

Eine vereinfachte Orthogonalitätsbedingung entwickeln

Wir betrachten jetzt den Fall, dass zwei beliebige Vektoren vorgegeben sind. Die zugehörigen Pfeile sind so angeordnet, dass sie ein Dreieck aufspannen.

Zum Herunterladen: orthovektoren4.ggb

Aufgabe 2 (Erarbeitung)

In der Orthogonalitätsbedingung aus Aufgabe 1 kommen die Terme $|\vec{a}|^2$, $|\vec{b}|^2$ und $|\vec{c}|^2$ vor. Um die Bedingung zu vereinfachen, sollten wir diese Terme vereinfachen.

(a) Das folgende Applet unterstützt dich dabei: Bringe hierzu die Terme in eine sinnvolle Reihenfolge, bei der jeder Umformungsschritt erklärbar ist. Beginne dabei eine Zeile mit $|\vec{a}|^2$, eine mit $|\vec{b}|^2$ und eine mit $|\vec{c}|^2$.

$|\vec{a}|^2 = \left(\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\right)^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$

$|\vec{b}|^2 = ...$

$|\vec{c}|^2 = ...$

(b) Erkläre jeden Umformungsschritt.

Aufgabe 3 (Erarbeitung)

Wenn du in Aufgabe 2 alles richtig gemacht hast, dann kannst du sicher auch den folgenden Zusammenhang erklären:

Die Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)$ sind orthogonal (kurz $\vec{a} \perp \vec{b}$) genau dann, wenn die Bedingung $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$ erfüllt ist.

Aufgabe 4 (Erarbeitung)

Nutze die Bedingung $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$, um im vorliegenden Beispiel zu überprüfen, ob die die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal sind. Ergänze hierzu die Berechnung und ziehe eine Schlussfolgerung.

$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = ...$

Zum Herunterladen: orthovektoren5.ggb

Eine vereinfachende Schreibweise nutzen

Um die Orthogonalitätsbedingung kurz zu formulieren, finden wir eine neue Schreibweise:

Definition

Wir führen die folgende Operation ein, mit der man aus zwei Vektoren eine Zahl, also ein Skalar, berechnen kann:

$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

Dieses Produkt nennt man Skalarprodukt der beiden Vektoren.

Aufgabe 5 (Sicherung)

Nutze das Skalarprodukt, um die Orthogonalitätsbedingung kurz zu formulieren:

Skalarprodukt und Orthogonalität

Aus zwei Vektoren berechnet man das Skalarprodukt so:

$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

Satz: Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind orthogonal genau dann, wenn ...

Beispiel: Sind $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)$ orthogonal? ...

Aufgabe 6 (Vertiefung)

Wir möchten mit dem Skalarprodukt überprüfen, welche Vierecksseiten im Viereck $PQRS$ mit $P(5|-1|1)$, $Q(4|3|2)$, $R(-6|0|3)$, $S(-5|-4|3)$ orthogonal sind. Das Viereck ist im Applet unter der Aufgabe abgebildet.

(a) Erläutere am folgenden Beispiel, wie man vorgeht.

Beispiel Winkel $\angle SPQ$:

$\overrightarrow{ PS } \cdot \overrightarrow{ PQ } = \left(\begin{array}{c} -10 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) = (-10)\cdot(-1) + (-3)\cdot 4 + 2 \cdot 1 = 10 -12 + 2 = 0$

Die Vektoren $\overrightarrow{ PS }$ und $\overrightarrow{ PQ }$ sind orthogonal, der Winkel $\angle SPQ$ ist somit ein rechter Winkel.

(b) Gehe analog bei den anderen Vierecksseiten vor.

Zum Herunterladen: orthovektoren1.ggb

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