Übungen – Koordinatendarstellung von Ebenen und Geraden
Aufgabe 1: Ebenengleichungen deuten und umwandeln ★★
Im Applet unter der Aufgabe ist eine quadratische Pyramide mit der Grundseite 6 und der Höhe 4 gegeben.
(a) Ermittle, welche Pyramidenseite mit welcher der folgenden Ebenengleichungen in Normalenform beschrieben wird.
$E_1 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) = 0$, $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) = 0$, $E_3 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) = 0$, $E_4 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right) = 0$.
(b) Bestimme für alle Ebenen eine Ebenengleichung in Koordinatenform.
Zum Herunterladen: pyramide.ggb
Aufgabe 2: Ebenengleichungen variieren ★★
Betrachte die Ebenengleichung $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) = 0$.
Wie ändert sich die zugehörige Ebenengleichung in Koordinatenform, wenn man
- den Normalenvektor zur Ebene durch einen anderen Normalenvektor ersetzt?
- den Stützpunkt der Ebene durch einen anderen Punkt der Ebene ersetzt?
Probiere das mit der gegebenen Ebenen aus. Formuliere ein Ergebnis.
Aufgabe 3: Ebenen mit Ebenengleichungen beschreiben ★★★
Das Applet unter der Aufgabe zeigt einen Würfel mit der Kantenlänge 4.
(a) Beschreibe möglichst viele Ebenen, die durch Eckpunkte des Würfels festgelegt werden, durch eine Ebenengleichung in Koordinatenform. Am besten, du stellst hierzu erst einmal eine Ebenengleichung in Normalenform (kurz: ENF) auf und wandelst sie dann in eine Ebenengleichung in Koordinatenform (kurz: EKF) um.
(b) Ordne abschließend die Ebenengleichungen in Koordinatenform der Gestalt $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ danach, wie viele der Parameter $a, b, c$ ungleich Null sind. Stelle Beziehungen zur Lage der jeweiligen Ebenen her.
| Ebene | ENF | EKF |
|---|---|---|
| $E_{BCGF}$ | $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = 0$ | $x_2 = 4$ |
| $E_{BCHE}$ | $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$ | $2x_1 + 2x_3 = 8$ |
Zum Herunterladen: wuerfel.ggb
Aufgabe 4: Geraden in der 2D-Ebene ★★
Das Applet unter der Aufgabe zeigt, dass man Gerade in der 2D-Ebene auch mit einer Geradengleichungen in Normalenform (kurz: GNF) und – äquivalent hierzu – mit einer Geradengleichungen in Koordinatenform (kurz: GKF) beschreiben kann. Mit dem Verschieben von $P$ und $N$ kannst du die Gleichungen ändern; der Punkt $X$ lässt sich beliebig auf der Geraden positionieren.
Bestimme jeweils die fehlenden Darstellungen. Beachte, dass in der mittleren Spalte der Tabelle ein nützliches Zwischenergebnis angegeben ist. Das kannst du auch weglassen. Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem Applet.
| GNF | ... | GKF |
|---|---|---|
| $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$ | $\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)$ | $x_1 + 2x_2 = 7$ |
| $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$ | ||
| $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array}\right) = 0$ | ||
| $-x_1 + 3x_2 = 4$ | ||
| $2x_2 = -4$ |
Zum Herunterladen: koordinatenform2d.ggb
