Gerade-Ebene
Zielsetzung
Hier wollen wir die Lagebeziehungen einer Gerade und einer Ebene untersuchen und dafür die Bestandteile einer Ebenengleichung in Normalenform verwenden.
Aufgabe 1 (Einstieg)
(a) Nenne die möglichen Lagebeziehungen.
(b) Vergleiche mit der nachfolgenden Liste. Es ist eine neue Lagebeziehung ergänzt. Sie ist aber nur ein Spezialfall einer bekannten Lagebeziehung. Erkläre, wovon die Rede ist.
Lagebeziehungen mit Stützpunkten, Richtungsvektoren und Normalenvektoren charakterisieren
Wir gehen davon aus, dass die Gerade mit einer Geradengleichung in Parameterform und die Ebene mit einer Ebenengleichung in Normalenform gegeben ist. Also: $g: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{u}$ und $E: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0$.
Aufgabe 2 (Erarbeitung; offen)
Finde für die Lagebeziehungen aus Aufgabe 1 passende Kriterien, wie die Beziehungen rechnerisch überprüfen kann. Nutze dafür die Bestandteile der Ebenengleichungen in Normalenform sowie der Geradengleichung. Das Applet unter der Aufgabe kann dir bei der Vorstellung helfen.
💡 Hilfestellung
Es hilft, wenn du für jede Lagebeziehung ein Bild vor Augen hast:
| Lagebeziehung | Veranschaulichung | Bedingung |
|---|---|---|
| die Gerade schneidet die Ebenen |  |
|
| die Gerade schneidet die Ebene orthogonal |  |
|
| die Gerade ist echt parallel zur Ebene |  |
|
| die Gerade liegt in der Ebene |  |
Zum Herunterladen: gerade_ebene1.ggb
Aufgabe 3 (Erarbeitung; geleitet)
Wir betrachten nun erst konkrete Objekte und untersuchen diese. Damit findest du einfacher Kriterien.
Gegeben ist die Gerade $g$ mit der Geradengleichung in Parameterform:
$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$
Ergänze die Lagebeziehungen der Gerade $g$ und der Ebene $E$ in der Tabelle (mit kurzer Begründung). Überprüfe mit dem Applet unter der Aufgabe.
| Ebene $E$ | Lagebeziehung von $g$ und $E$ | Begründung |
|---|---|---|
| (a) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) = 0$ | die Gerade schneidet die Ebene (nicht orthogonal) | $\vec{u}$ und $\vec{n}$ sind nicht orthogonal. Also schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$. Da $\vec{u}$ und $\vec{n}$ sind nicht linear abhängig sind, schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$ nicht orthogonal. |
| (b) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) = 0$ | ||
| (c) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$ | ||
| (d) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$ | ||
| (e) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$ |
Zum Herunterladen: gerade_ebene1.ggb
Aufgabe 4 (Sicherung)
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