Frage 2: Umwandlungen
Leitfrage
In der Erkundung hat sich die Koordinatenform als nützlich herausgestellt; doch oft sind Ebenen in einer anderen Darstellungsform gegeben. Deshalb stellt sich die Frage:
2. Wie wandle ich eine Ebenengleichung in Normalenform in eine Ebenengleichung in Koordinatenform um? Geht das immer? Wie funktioniert die umgekehrte Umwandlung?
Eine Normalenform in eine Koordinatenform umwandeln
Wir beginnen mit der Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform; diese kennen wir auch bereits aus der Erkundung.
In der Tabelle unter der Aufgabe ist die Umwandlung Schritt für Schritt durchgeführt. Links siehst du den Weg, der auch in der Erkundung gewählt worden ist. Rechts wird ein Rechengesetz für das Skalarprodukt verwendet, das erst im Kapitel Skalarprodukt behandelt wird.
Aufgabe 4
(a) Erläutere jeden einzelnen Schritt der gezeigten Umformungen. Erkläre, wo in Variante 2 das Distributivgesetz für das Skalarprodukt vorkommt – obwohl wir es noch gar nicht betrachtet haben.
(b) Wandle analog die folgenden Ebenengleichung in Normalenform in eine Koordinatenform um.
- $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
- $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 7 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) = 0$
- $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
- $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$
Umwandlung von Normalenform zu Koordinatenform
| Version 1 | Version 2 |
|---|---|
| $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$ | $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$ |
| $E : \left[\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$ | $E : \vec{x} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$ |
| $E : \left(\begin{array}{c} x_1 - 3 \\ x_2 - 1 \\ x_3 - 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$ | $E : \vec{x} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$ |
| $E : (x_1 - 3) \cdot 1 + (x_2 - 1) \cdot 0 + (x_3 - 2) \cdot 2 = 0$ | $E : \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$ |
| $E : x_1 - 3 + 2x_3 - 4 = 0$ | $E : x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 0 + x_3 \cdot 2 = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2$ |
| $E : x_1 + 2 x_3 = 7$ | $E : x_1 + 2 x_3 = 7$ |
Eine Koordinatenform in eine Normalenform umwandeln
Bei der Umwandlung einer Ebenengleichung in Koordinatenform in eine Ebenengleichung in Normalenform werden die Umformungsschritte umgekehrt.
Unter der Aufgabe ist die Umformung schrittweise dargestellt.
Aufgabe 5
(a) Erläutere auch hier jeden einzelnen Schritt der Umformung.
(b) Wandle analog die folgenden Ebenengleichung in Koordinatenform in eine Normalenform um.
- $E : 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 6$
- $E : x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 6$
- $E : 3x_1 + 4x_3 = 12$
- $E : x_1 = 4$
Umwandlung von Koordinatenform zu Normalenform
$E : 3x_1 + 6x_2 + 4x_3 = 12$
$\downarrow$
$E : \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}\right) = \underbrace{\left(\begin{array}{c} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}\right)}_{12}$
Hier benötigt man jetzt die Koordinaten eines Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$, der in der Ebene $E$ liegt. Es gibt (unendlich) viele solche Punkte, z.B. $(4|0|0)$ oder $(0|2|0)$ oder .... Mit einem dieser Punkte kann man die Umwandlung fortsetzen.
$E : \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}\right) = \underbrace{\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}\right)}_{12}$
$\downarrow$
$E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}\right) = 0$
