Zusammenfassung – Normalendarstellung von Ebenen und Geraden
Die Grundidee
Die Lage einer Ebene im 3D-Raum lässt sich mit Hilfe von zwei Vektoren eindeutig festlegen:
- mit einem Stützvektor, der zu einem Punkt der Ebene führt und
- mit einem Normalenvektor, der orthogonal zur Ebene ist.
Im Applet kannst du die zugehörigen Punkte bewegen und damit die Lage der Ebene festlegen.
Zum Herunterladen: normalenform4.ggb
Die Mathematisierung
Mit dem Skalarprodukt lässt sich dann direkt überprüfen, ob ein beliebiger Punkt in einer mit Stütz- und Normalenvektor festgelegten Ebene liegt.
Zum Herunterladen: normalenform5.ggb
Das Applet verdeutlicht folgenden zentralen Zusammenhang:
Satz
Für eine Ebene
Ein Punkt
Das führt zu dieser Definition:
Ebenengleichung in Normalenform
Eine Ebene wird beschrieben durch die Gleichung:
Beispiel
Die Ebene
Um zu überprüfen, ob ein Punkt wie z.B.
Der 2D-Fall
Der 2D-Fall kann völlig analog zum 3D-Fall behandelt werden.
Zum Herunterladen: normalenform6.ggb
Mit einem Stütz- und einem Normalenvektor wird im 2D-Fall eine Gerade beschrieben.
Satz
Für eine 2D-Gerade
Ein Punkt
Das führt zu dieser Definition:
2D-Geradengleichung in Normalenform
Eine 2D-Gerade wird beschrieben durch die Gleichung:
Das gilt nicht für 3D: Im dreidimensionalen Raum lassen sich Geraden nicht durch eine Normalengleichung beschreiben.
Beispiel:
Um zu überprüfen, ob ein Punkt wie z.B.
