Zusammenfassung – Normalendarstellung von Ebenen und Geraden
Die Grundidee
Die Lage einer Ebene im 3D-Raum lässt sich mit Hilfe von zwei Vektoren eindeutig festlegen:
- mit einem Stützvektor, der zu einem Punkt der Ebene führt und
- mit einem Normalenvektor, der orthogonal zur Ebene ist.
Im Applet kannst du die zugehörigen Punkte bewegen und damit die Lage der Ebene festlegen.
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Die Mathematisierung
Mit dem Skalarprodukt lässt sich dann direkt überprüfen, ob ein beliebiger Punkt in einer mit Stütz- und Normalenvektor festgelegten Ebene liegt.
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Das Applet verdeutlicht folgenden zentralen Zusammenhang:
Satz
Für eine Ebene $E$, die mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und einem Normalenvektor $\vec{n}$ festgelegt ist, gilt:
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der Ebene $E$ genau dann, wenn $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ gilt.
Das führt zu dieser Definition:
Ebenengleichung in Normalenform
Eine Ebene wird beschrieben durch die Gleichung: $E:\left[ \vec{x} - \vec{p} \right] \cdot \vec{n} = 0$, wobei $\vec{n}$ nicht der Nullvektor ist.
Beispiel
$E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
Die Ebene $E$ wird hier mit dem Stützvektor $\vec{p} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$ und dem Normalenvektor $\vec{n} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$ beschrieben.
Um zu überprüfen, ob ein Punkt wie z.B. $A(2|2|1)$ bzw. $B(4|3|1)$ in der Ebene $E$ liegt, setzt man den entsprechenden Ortsvektor in die Ebenengleichung ein und überprüft, ob die entstehende Bedingung erfüllt ist.
$A$: $\left[ \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0 + 2 - 2 = 0$ $\Rightarrow$ $A$ liegt in $E$
$B$: $\left[ \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0 + 3 - 2 = 1$ $\Rightarrow$ $B$ liegt nicht in $E$
Der 2D-Fall
Der 2D-Fall kann völlig analog zum 3D-Fall behandelt werden.
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Mit einem Stütz- und einem Normalenvektor wird im 2D-Fall eine Gerade beschrieben.
Satz
Für eine 2D-Gerade $g$, die mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und einem Normalenvektor $\vec{n}$ festgelegt ist, gilt:
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt auf der Geraden $g$ genau dann, wenn $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ gilt.
Das führt zu dieser Definition:
2D-Geradengleichung in Normalenform
Eine 2D-Gerade wird beschrieben durch die Gleichung: $g: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$, wobei $\vec{n}$ nicht der Nullvektor ist.
Das gilt nicht für 3D: Im dreidimensionalen Raum lassen sich Geraden nicht durch eine Normalengleichung beschreiben.
Beispiel:
$g : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
Um zu überprüfen, ob ein Punkt wie z.B. $A(-1|4)$ bzw. $B(4|1)$ auf der Geraden $g$ liegt, setzt man den entsprechenden Ortsvektor in die Geradengleichung ein und überprüft, ob die entstehende Bedingung erfüllt ist.
$A$: $\left[ \left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = -4 + 4 = 0$ $\Rightarrow$ $A$ liegt auf $g$
$B$: $\left[ \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = 1 - 2 = -1$ $\Rightarrow$ $B$ liegt nicht auf $g$
