Übungen – Orthogonalität und Lagebeziehungen

Aufgabe 1: Lagebeziehungen untersuchen ★★

Gegeben sind die folgenden geometrischen Objekte:

$E_1:3x_1+4x_3=12$

$E_2:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)=0$

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

$E_3:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Untersuche, welche Lagebeziehungen zwischen den Objekten jeweils vorliegt (mit Begründung). Fertige eine Skizze an, in der die Lage der Objekte zueinander verdeutlicht wird.

Aufgabe 2: Eine geometrische Konstellation erstellen ★★

Es wird dir nun eine Ebene vorgegeben und du sollst weitere geometrische Elemente finden, sodass eine bestimmte Situation vorliegt.

(a) Situation 1

$E_1:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$

• $E_2$ und $E_3$ sollen orthogonal zu $E_1$ sein.
• $E_2$ und $E_3$ sollen echt parallel sein.
• $g$ soll $E_2$ und $E_3$ orthogonal schneiden.
• $g$ soll nicht in $E_1$ liegen.

(b) Situation 2

$E_1:[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$

• $E_2$ soll echt parallel zu $E_1$ sein.
• $E_3$ soll orthogonal zu $E_1$ sein.
• $g_1$ und $g_2$ sollen $E_1$ orthogonal schneiden.
• $g_1$ und $g_2$ sollen nicht identisch sein.