Erkundung – Orthogonale Vektoren

Ein Orthogonalitätsproblem

Aufgabe 1 (Einstieg)

Im 3D-Gelände ist ein Grundstück abgesteckt. Bekannt sind die Koordinaten der Eckpunkte:

$P(5|-1|1)$, $Q(4|3|2)$, $R(-6|0|3)$, $S(-5|-4|3)$

(a) Liegen die Grundstückseiten orthogonal zueinander; also liegt ein Rechteck vor? Verschaffe dir durch Drehen der Ansicht des Applets eine Vorstellung über die Lage des Grundstücks. Stelle eine Vermutung über die Orthogonalität der Grundstückseiten auf.

(b) Formuliere die Fragestellung (für eine der vier Ecken) mithilfe von Vektoren.

Zum Herunterladen: orthovektoren1.ggb

Orthogonalität mit Vektoren überprüfen

Wir möchten nun für die Ecke $P$ überprüfen, ob hier ein rechter Winkel vorliegt. Zur Erinnerung: $P(5|-1|1)$, $Q(4|3|2)$, $R(-6|0|3)$, $S(-5|-4|3)$

Aufgabe 2 (Erarbeitung)

Löse das Problem möglichst selbstständig. Die Vektoren im Applet unter der Aufgabe helfen hierbei. Unter dem Applet findest du Tipps zur Vorgehensweise. Nutze sie bei Bedarf oder zur Kontrolle.

Zum Herunterladen: orthovektoren2.ggb

💡 Eine sinnvolle Strategie

Folgende Strategie bietet sich an:

• Schritt 1: Ein Dreieck wählen, bei dem der zu überprüfende Winkel vorkommt
• Schritt 2: Die Seiten des Dreiecks mit Vektoren beschreiben
• Schritt 3: Die Beträge der Vektoren (und damit die Seitenlängen) berechnen
• Schritt 4: Die Orthogonalitätsbedingung nach Pythagoras überprüfen

💡 Schritt 1

Hier bietet sich das Dreieck $PQS$ an.

💡 Schritt 2

$\overrightarrow{ PS } = \left(\begin{array}{c} -10 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)$, $\overrightarrow{ PQ } = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)$, $\overrightarrow{ SQ } = \left(\begin{array}{c} 9 \\ 7 \\ -1 \end{array}\right)$.

💡 Schritt 3

$| \overrightarrow{ PS } | = \sqrt{(-10)^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{113}$

$| \overrightarrow{ PQ } | = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{18}$

$| \overrightarrow{ SQ } | = \sqrt{9^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{131}$

💡 Schritt 4

$| \overrightarrow{ PS } |^2 + | \overrightarrow{ PQ } |^2 = 113 + 18 = 131$

$| \overrightarrow{ SQ } |^2 = 131$.

Der Winkel bei $P$ ist also ein rechter Winkel.

Aufgabe 3 (Sicherung)

(a) Sicher ist dir bereits aufgefallen, dass man die Berechnungen ein wenig abkürzen kann: Braucht man wirklich den Betrag der beteiligten Vektoren? Begründe.

(b) Formuliere kurz, wie man für eine Ecke $ABC$ überprüft, ob in ihr ein rechter Winkel vorliegt.

Aufgabe 4 (Übung)

Führe eine analoge Orthogonalitätsüberprüfung für mindestens einen weiteren Winkel durch.