o-mathe | Vertiefung – Umwandlung von Ebenengleichungen

Von Parameterform zu Normalenform

Zu einer Parameterform eine Normalenform entwickeln

Eine Firma will Solarmodule in Pyramidenform herstellen. Das hätte den Vorteil, dass die Einstrahlung am Morgen, Mittag und Abend für die Energieerzeugung genutzt werden könnte.

Für Untersuchungen an den Pyramidenmodulen ist die Firma an einer Beschreibung der Seitenflächen der Pyramide mit Ebenengleichungen interessiert. Diese Ebenengleichungen sollen jetzt hier entwickelt werden.

Aufgabe 1

(a) Erkläre kurz, warum es in dieser Situation sinnvoll ist, die Seitenflächen mit einer Ebenengleichung in Normalenform zu beschreiben.

(b) Erkläre kurz, warum es in dieser Situation einfacher ist, eine Ebenengleichung in Parameterform anzugeben.

Zum Herunterladen: pyramidenmodul1.ggb

Eine Pyramidenseite als Beispiel

Wir benutzen folgende Pyramidendaten: Die Eckpunkte der Grundfläche haben die Koordinaten $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$, $C(4|4|0)$, $D(0|4|0)$. Die Spitze der Pyramide wird mit $S(2|2|8)$ beschrieben.

Wir betrachten zunächst die Ebene $E_{CDS}$ durch die Punkte $C$, $D$ und $S$.

Aufgabe 2

Erkläre, wieso die Ebene mit der folgenden Ebenengleichung in Parameterform beschrieben wird. Erläutere die Bestandteile der Gleichung am Applet unter der Aufgabe. Welche Rolle spielen die beiden im Applet hervorgehobenen Vektoren?

$E_{CDS} : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 8 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -8 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ -8 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Zum Herunterladen: pyramidenmodul2.ggb

Aufgabe 3

Gesucht ist eine Ebenengleichung in Normalenform für die Ebene $E_{CDS}$. Gehe möglichst selbstständig vor. Nutze bei Bedarf die Hinweise unter der Aufgabe. Kontrolliere mit der Lösung.

💡 Strategie

Einen Stützvektor zu finden ist hier kein Problem. Schwieriger ist es, einen Normalenvektor $\vec{n}$ für diese Ebene zu konstruieren.

Der Normalenvektor muss orthogonal zur Ebene verlaufen. Dafür muss er orthogonal zu beiden Spannvektoren sein.

Stelle für die Orthogonalität von $\vec{n}$ zu den Spannvektoren je eine Gleichung auf. Löse das entstehende LGS und du hast einen Normalenvektor bestimmt.

💡 Ausführliche Hilfestellung beim Normalenvektor

(a) Der Normalenvektor muss orthogonal zur Ebene verlaufen. Dafür muss er orthogonal zu beiden Spannvektoren sein. Begründe, dass das gleichbedeutend ist mit der folgenden Bedingung:

$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ und $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ bzw. $\left(\begin{array}{c} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -8 \end{array}\right) = 0$ und $\left(\begin{array}{c} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ -8 \end{array}\right)$

(b) Erläutere, dass man diese Bedingung in ein LGS umwandeln kann:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2n_1 & + & 2n_2 & - & 8n_3 & = & 0 \\ [2] &\quad -2n_1 & + & 2n_2 & - & 8n_3 & = & 0 \end{array}$

(c) Das LGS ist unterbestimmt (weniger Gleichungen als Variablen). Um es zu lösen, kannst du für eine Variable einen Wert vorgeben, z.B. $n_3 = 1$. Setze das ins LGS ein und begründe, dass dann $n_1 = 0$ und $n_2 = 4$ gelten muss.

(d) Bestimme mit dem Ergebnis aus (c) eine Ebenengleichung in Normalenform für die Ebene $E_{CDS}$.

🔑 Kontrollergebnis

Eie mögliche Lösung lautet:

$E_{CDS} : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 8 \end{array}\right) \right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) = 0$

Auch andere Lösungen sind möglich. Du kannst deine Lösung kontrollieren, indem du die Punkte $S$, $C$ und $D$ für $\vec{x}$ einsetzt und überprüfst, ob die Gleichung in allen drei Fällen null ergibt. (Punktprobe)

Die übrigen Seitenflächen

Aufgabe 4 🚀

Gehe bei den Ebenen $E_{BCS}$ und $E_{ABS}$ analog vor. Bestimme jeweils zuerst eine Ebenengleichung in Parameterform. Bestimme anschließend jeweils eine Ebenengleichung in Normalenform.

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