Von Parameterform zu Normalenform
Zu einer Parameterform eine Normalenform entwickeln
Eine Firma will Solarmodule in Pyramidenform herstellen. Das hätte den Vorteil, dass die Einstrahlung am Morgen, Mittag und Abend für die Energieerzeugung genutzt werden könnte.
Für Untersuchungen an den Pyramidenmodulen ist die Firma an einer Beschreibung der Seitenflächen der Pyramide mit Ebenengleichungen interessiert. Diese Ebenengleichungen sollen jetzt hier entwickelt werden.
Aufgabe 1
(a) Erkläre kurz, warum es in dieser Situation sinnvoll ist, die Seitenflächen mit einer Ebenengleichung in Normalenform zu beschreiben.
(b) Erkläre kurz, warum es in dieser Situation einfacher ist, eine Ebenengleichung in Parameterform anzugeben.
Zum Herunterladen: pyramidenmodul1.ggb
Eine Pyramidenseite als Beispiel
Wir benutzen folgende Pyramidendaten: Die Eckpunkte der Grundfläche haben die Koordinaten , , , . Die Spitze der Pyramide wird mit beschrieben.
Wir betrachten zunächst die Ebene durch die Punkte , und .
Aufgabe 2
Erkläre, wieso die Ebene mit der folgenden Ebenengleichung in Parameterform beschrieben wird. Erläutere die Bestandteile der Gleichung am Applet unter der Aufgabe. Welche Rolle spielen die beiden im Applet hervorgehobenen Vektoren?
(mit )
Zum Herunterladen: pyramidenmodul2.ggb
Aufgabe 3
Gesucht ist eine Ebenengleichung in Normalenform für die Ebene . Gehe möglichst selbstständig vor. Nutze bei Bedarf die Hinweise unter der Aufgabe. Kontrolliere mit der Lösung.
💡 Strategie
Einen Stützvektor zu finden ist hier kein Problem. Schwieriger ist es, einen Normalenvektor für diese Ebene zu konstruieren.
Der Normalenvektor muss orthogonal zur Ebene verlaufen. Dafür muss er orthogonal zu beiden Spannvektoren sein.
Stelle für die Orthogonalität von zu den Spannvektoren je eine Gleichung auf. Löse das entstehende LGS und du hast einen Normalenvektor bestimmt.
💡 Ausführliche Hilfestellung beim Normalenvektor
(a) Der Normalenvektor muss orthogonal zur Ebene verlaufen. Dafür muss er orthogonal zu beiden Spannvektoren sein. Begründe, dass das gleichbedeutend ist mit der folgenden Bedingung:
und bzw. und
(b) Erläutere, dass man diese Bedingung in ein LGS umwandeln kann:
(c) Das LGS ist unterbestimmt (weniger Gleichungen als Variablen). Um es zu lösen, kannst du für eine Variable einen Wert vorgeben, z.B. . Setze das ins LGS ein und begründe, dass dann und gelten muss.
(d) Bestimme mit dem Ergebnis aus (c) eine Ebenengleichung in Normalenform für die Ebene .
🔑 Kontrollergebnis
Eie mögliche Lösung lautet:
Auch andere Lösungen sind möglich. Du kannst deine Lösung kontrollieren, indem du die Punkte , und für einsetzt und überprüfst, ob die Gleichung in allen drei Fällen null ergibt. (Punktprobe)
Die übrigen Seitenflächen
Aufgabe 4 🚀
Gehe bei den Ebenen und analog vor. Bestimme jeweils zuerst eine Ebenengleichung in Parameterform. Bestimme anschließend jeweils eine Ebenengleichung in Normalenform.