Frage 1: Grundidee der Koordinatenform

Eine Ebenengleichung anders darstellen

Die Ebenengleichung in Koordinatenform hängt eng mit der Ebenengleichung in Normalenform zusammen. Deshalb betrachten wir zuerst diese.

Aufgabe 2

Erkläre die Grundidee der Ebenengleichung in Normalenform: Aus welchen Bestandteilen besteht sie? Welche Eigenschaften müssen diese Bestandteile haben? Welcher Gedanke steckt hinter der Gleichung?

🔑 Kontrolle

Die Lage einer Ebene im 3D-Raum lässt sich mit Hilfe von zwei Vektoren eindeutig festlegen:

• mit einem Stützvektor, der zu einem Punkt der Ebene führt und
• mit einem Normalenvektor, der orthogonal zur Ebene ist.

Die Grundidee der Ebenengleichung in Normalenform besteht darin, dass alle Verbindungsvektoren vom Stützpunkt zu einem Punkt der Ebene orthogonal zum Normalenvektor sind. Das wird in der Gleichung durch ein Skalarprodukt ausgedrückt.

Aufgabe 3

Im folgenden Applet kannst du die Punkte $P$ und $N$ verschieben, um die Ebene zu verändern. Es passen sich dann die Normalenform und die Koordinatenform im oberen Fenster an. Außerdem kannst du $X$ auf der Ebene verschieben.

(a) Analysiere die beiden Gleichungen im Applet. Erläutere, dass sie beide den gleichen Zusammenhang beschreiben – diesen aber in unterschiedlicher Weise darstellen: einmal durch eine Vektorbeziehung, einmal mit Hilfe der Koordinaten. Also: Gleiche Idee, andere Darstellung!

(b) Paula meint: Aus einer Ebenengleichung in Koordinatenform kann man ja den Normalenvektor direkt ablesen. Erkläre, was sie meint.

Zum Herunterladen: koordinatenform1.ggb