o-mathe | Vertiefung – Umwandlung von Ebenengleichungen

Von Normalenform zu Parameterform

Zu einer Normalenform eine Parameterform entwickeln

Eine Firma will rechteckige Solarmodule für ein Dach konzipieren. Die Richtung der Sonneneinstrahlung ist vorgegeben.

Aufgabe 1

(a) Erkläre kurz, warum es in dieser Situation recht einfach ist, eine Ebenengleichung in Normalenform anzugeben.

(b) Erkläre kurz, warum es zur Berechnung der Eckpunkte sinnvoll ist, die Solarmodulfläche mit einer Ebenengleichung in Parameterform zu beschreiben.

Zum Herunterladen: rechteckmodul2.ggb

Suche nach einer EPF und den Eckpunkten.

Gesucht sind die Eckpunkte eines rechteckigen Moduls. Vorgegeben ist die Ebene, in der das Modul liegen soll. Diese Ebene ist mit einer Ebenengleichung in Normalenform gegeben:

$E : [\vec{x} - (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0$

Aufgabe 2

(a) Erläutere die Bestandteile der Ebenengleichung.

(b) Begründe: Für eine Ebenengleichung in Parameterform benötigt man zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ , die beide orthogonal zum gegebenen Vektor $\vec{n}$ sind und die zusätzlich linear unabhängig sind. Günstig für die Konstruktion eines rechteckigen Moduls wäre, wenn die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nicht nur linear unabhängig, sondern – wie im Applet oben – sogar orthogonal wären.

Aufgabe 3

F. behauptet, dass die Konstruktion von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ganz einfach ist:

Fall 1: Wenn eine der Koordinaten von $\vec{n}$ gleich $0$ ist, z.B. $\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix})$ , dann kann man so vorgehen: $\vec{u} = (\begin{matrix} c \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ (mit einer reellen Zahl $c$ ungleich $0$ ) und $\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ - n_{3} \\ n_{2} \end{matrix})$ .

Fall 2: Wenn alle Koordinaten von $\vec{n} = (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix})$ ungleich $0$ sind, dann kann man z.B. so vorgehen: $\vec{u} = (\begin{matrix} 0 \\ - n 3 \\ n 2 \end{matrix})$ und $\vec{v} = (\begin{matrix} - n 3 \\ 0 \\ n_{1} \end{matrix})$ .

(a) Begründe, dass man in beiden Fällen zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ erhält, die beide orthogonal zum gegebenen Vektor $\vec{n}$ sind und die zusätzlich linear unabhängig sind.

(b) In welchem der beiden Fälle sind die beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ zusätzlich auch noch orthogonal zueinander? Begründe.

Aufgabe 4

(a) Benutze die Ergebnisse aus Aufgabe 3, um die gesuchte Ebenengleichung in Parameterform zur Ebene $E$ zu konstruieren.

(b) Bestimme anschließend die Koordinaten der Eckpunkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ des rechteckigen Moduls.

🔑 Kontrollergebnis

Eine mögliche Lösung ist diese Ebenengleichung:

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

Mit dieser Ebenengleichung erhält man z.B.:

$A : \vec{a} = \vec{p} + \vec{u} + \vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{matrix})$

$B : \vec{a} = \vec{p} - \vec{u} + \vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 8 \end{matrix})$

$C : \vec{a} = \vec{p} - \vec{u} - \vec{v} = (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})$

$D : \vec{a} = \vec{p} + \vec{u} - \vec{v} = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})$

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