Übungen – Orthogonalität bei Vektoren

Aufgabe 1 ★

Im Applet unter der Aufgabe kannst du die Koordinaten der Punkte – und damit auch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ – verändern. Es sind aber nur ganzzahlige Koordinaten möglich. Angezeigt wird der Winkel zwischen den Vektoren (beachte den Darstellungswechsel, wenn ein rechter Winkel entsteht) und das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

(a) Ändere die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und beobachte gleichzeitig den Winkel zwischen den Vektoren und das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Formuliere nochmal den Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen.

(b) Stelle mindestens 3 verschiedene Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ein, die orthogonal sind. Zeige jeweils mit einer Rechnung, dass die Orthogonalitätsbedingung $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ erfüllt ist.

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Aufgabe 2 ★★

Wie in Aufgabe 1 kannst du auch im Applet unter dieser Aufgabe die Koordinaten der Punkte – und damit auch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ – verändern. Auch hier sind nur ganzzahlige Koordinaten möglich. Angezeigt wird der Winkel zwischen den Vektoren (beachte den Darstellungswechsel, wenn ein rechter Winkel entsteht) und das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

Gelingt es dir, die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ so einzustellen, dass sie orthogonal sind? Probiere dabei auch die folgenden beiden Strategien aus.

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Aufgabe 3 ★

Im Applet unter der Aufgabe siehst du einen Würfel der Kantenlänge $4$. Wir nutzen hier folgende Bezeichnungen: Mit $M_{BF}$ wird der Mittelpunkt der Kante $BF$ bezeichnet.

Überprüfe, ob die folgenden Vektoren jeweils orthogonal sind. Stelle zunächst eine Vermutung auf. Überprüfe dann mit dem Skalarprodukt. Dokumentiere die Ergebnisse.

(a) $\overrightarrow{GH}$ und $\overrightarrow{GB}$

(b) $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{EH}$

(c) $\overrightarrow{BE}$ und $\overrightarrow{AF}$

(d) $\overrightarrow{AG}$ und $\overrightarrow{EC}$

(e) $\overrightarrow{M_{BF}M_{EF}}$ und $\overrightarrow{M_{BF}M_{AB}}$

(f) $\overrightarrow{M_{BF}G}$ und $\overrightarrow{GM_{DH}}$

(g) $\overrightarrow{M_{FG}C}$ und $\overrightarrow{M_{FG}B}$

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Aufgabe 4 ★★

Im Applet unter der Aufgabe siehst du einen Würfel der Kantenlänge $4$. Die Punkte $I$ und $J$ sind Seitenmitten. Im Würfel ist ein Viereck $EICJ$ abgesteckt.

Untersuche, um welche Art Viereck es sich hier handelt.

(a) Setze zunächst die passende Vierecksbezeichnung (Rechteck, Raute, Quadrat, Parallelogramm) in die folgenden Charakterisierungen ein.

• Ein(e) ... ist ein Viereck, in dem die gegenüber liegenden Seiten parallel sind.
• Ein(e) ... ist ein Viereck, in dem alle Seiten gleich lang sind.
• Ein(e) ... ist ein Viereck, in dem alle Winkel rechte Winkel sind.
• Ein(e) ... ist ein Viereck, in dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel rechte Winkel sind.

(b) Überprüfe mit geeigneten Vektorberechnungen, welche Eigenschaften das Viereck $EICJ$ hat und damit, um welchen Viereckstyp es sich bei diesem Viereck handelt.

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Aufgabe 5 ★★

L. behauptet: „Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann null, wenn einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist.“

M. entgegnet: „Deine Aussage stimmt nur zur Hälfte.“

Erkläre, was M. meint.