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Erkundung – Zurück zu den Solarmodulen

Worum geht es hier?

Zielsetzung

Wir greifen die Solarmodule aus der Orientierung noch einmal auf und verbinden die Überlegungen mit den Erkenntnissen zum Skalarprodukt.

Die Befestigung rechnerisch überprüfen

Folgende Informationen über das Solarmodul sind gegeben:

Das Solarmodul ist im Punkt $P(0|0|4)$ verankert.
Die Ausrichtung des Solarmoduls wird mit dem Vektor $\vec{n} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 8 \end{array}\right)$ beschrieben.

Aufgabe 1 (Einstieg)

Erkläre noch einmal am Applet unter der Aufgabe, wie man erkennt, ob ein Befestigungspunkt geeignet ist – also in der Solarmodul-Ebene liegt.

Zum Herunterladen: solarmodul3.ggb

Aufgabe 2 (Erarbeitung)

Doch ist auf das Applet wirklich Verlass? Und was, wenn man kein Applet zur Verfügung hat?

Überprüfe die vier vorgeschlagenen Befestigungspunkte rechnerisch.

$A(4|4|1)$
$B(-4|6|3)$
$C(-2|-3|7)$
$D(4|-4|5)$

Aufgabe 3 (Sicherung)

✏️️ Fasse zusammen: Welche Bedingung muss ein Punkt $X$ erfüllen, damit er auf der Ebene liegt, die durch $P$ und $\vec{n}$ beschrieben wird?

$X$ liegt in der Ebene, wenn ...

💡 Tipp

Beschreibe das Verhältnis der beiden Vektoren $\overrightarrow{PX}$ und $\vec{n}$. Nutze das Skalarprodukt.

Aufgabe 4 (Vertiefung)

(a) Wir betrachten ein Solarmodul für ein anderes Dach: Die Sonneneinstrahlung wird dort mit $\vec{n} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)$ beschrieben. Die Solarmodulebene wird mit folgender Ebenengleichung beschreiben:

$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Ist die Ebene $E$ passend zur Sonneneinstrahlung ausgerichtet? Überprüfe rechnerisch.

💡 Tipp und Kontroll-Werkzeug ein-/ausblenden

Die Ebene muss orthogonal zum Vektor $\vec{n}$ verlaufen. Dazu müssen beide Spannvektoren orthogonal zum Vektor $\vec{n}$ verlaufen. Das kannst du mit dem Skalarprodukt überprüfen.

Zur Kontrolle kannst du das folgende Tool verwenden: Gib hierzu oben die Koordinaten der Vektoren ein, deren Orthogonalität du überprüfen möchtest.

Zum Herunterladen: ortho-pruefer.ggb

(b) 🚀 Zu welcher Sonneneinstrahlung wäre die folgende Ebene optimal ausgerichtet?

$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

💡 Tipp

Der Vektor der Sonnen-Einstrahlung muss orthogonal zu beiden Spannvektoren verlaufen.

Betrachte erst nur den ersten Spannvektor. Damit ein Vektor $\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3\end{pmatrix}$ orthogonal zu $\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix}$ verläuft, muss das Skalarprodukt von ihnen null sein, also $1\cdot n_1 - 4\cdot n_2 = 0$ gelten. Also $n_1 = 4_n2$. Das geht z.B. mit $n_1 = 4$ und $n_2 = 1$.

Doch wie soll $n_3$ gewählt werden? Der Vektor $\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ n_3\end{pmatrix}$ soll orthogonal zu $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$ verlaufen. Betrachte auch hier das Skalarprodukt.

Quellen

[1]: Solarmodule - Urheber: Fernando Tomás - Lizenz: Creative Commons BY 2.0