Abschätzung von $f'(x_0)$
Zur Orientierung
Ziel ist es, $f'(x_0)$ - d.h., die Ableitung von $f$ an der Stelle - abzuschätzen. Wir verdeutlichen das Vorgehen an folgendem Beispiel.
Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$.
Gesucht ist eine Abschätzung für $f'(1)$ (d.h. für $f'(x_0)$ für die Stelle $x_0 = 1$).
Zum Herunterladen: ableitung1.ggb
$f'(x_0)$ grob abschätzen
Zur Abschätzung nutzen wir die Grundidee der Ableitung:
$\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \downarrow & h \rightarrow 0 \\ f'(x_0) \end{array}$
Wenn $h$ "kein" ist, dann gilt $f'(x_0) \approx \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}$.
Aufgabe 1
(a) Eine erste ganz grobe Abschätzung könnte so aussehen:
$f'(1) \approx \displaystyle{\frac{f(1.1) - f(1)}{0.1}} = \displaystyle{\frac{1.1^2 - 1^2}{0.1}} = 2.1$
Erkläre das Vorgehen bei der Abschätzung. Welcher $h$-Wert wurde hier benutzt?
(b) Wähle selbst einen kleineren $h$-Wert und schätze $f'(1)$ noch einmal besser ab. Kontrolliere deine Rechnung mit dem Applet. Beachte, dass du $x_0$ zuerst passend einstellen musst.
Aufgabe 2
Gehe analog vor und schätze $f'(2)$ und $f'(-1)$ ab. Wähle selbst geeignete kleine $h$-Werte für deine Rechnungen. Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet.
