Abschätzung von $f^{\prime }(x_0)$

Zur Orientierung

Ziel ist es, $f^{\prime }(x_0)$ - d.h., die Ableitung von $f$ an der Stelle - abzuschätzen. Wir verdeutlichen das Vorgehen an folgendem Beispiel.

Zum Herunterladen: ableitung1.ggb

$f^{\prime }(x_0)$ grob abschätzen

Zur Abschätzung nutzen wir die Grundidee der Ableitung:

$\begin{array}{ccl}m(x_0,x_0+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ \downarrow & h\to 0\\ f^{\prime }(x_0)\end{array}$

Wenn $h$ "kein" ist, dann gilt $f^{\prime }(x_0)\approx {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$.

Aufgabe 1

(a) Eine erste ganz grobe Abschätzung könnte so aussehen:

$f^{\prime }(1)\approx {\displaystyle \frac{f(1.1)-f(1)}{0.1}={\displaystyle \frac{{1.1}^2-1^2}{0.1}=2.1}}$

Erkläre das Vorgehen bei der Abschätzung. Welcher $h$-Wert wurde hier benutzt?

(b) Wähle selbst einen kleineren $h$-Wert und schätze $f^{\prime }(1)$ noch einmal besser ab. Kontrolliere deine Rechnung mit dem Applet. Beachte, dass du $x_0$ zuerst passend einstellen musst.

Aufgabe 2

Gehe analog vor und schätze $f^{\prime }(2)$ und $f^{\prime }(-1)$ ab. Wähle selbst geeignete kleine $h$-Werte für deine Rechnungen. Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet.