Herleitung von $f^{\prime }(x_0)$

Aufgabe 1

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$.

Zum Herunterladen: ableitung5.ggb

F. behauptet, dass man für diese Funktion die Formel $f^{\prime }(x_0)=2x_0$ erhält.

(a) Kontrolliere die Formel $f^{\prime }(x_0)=2x_0$ zunächst anhand von Beispielen im Applet.

(b) F. begründet die Formel mit folgender Herleitung. Erläutere alle (Zwischen-) Schritte der Herleitung.

Schritt 1: $m(x_0,x_0+h)$ umformen.

$\begin{array}{lcl}m(x_0,x_0+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(x_0+h{)}^2-x_0^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x_0^2+2x_{0}h+h^2-x_0^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x_{0}h+h^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{h\cdot (2x_0+h)}{h}}\\ & =& 2x_0+h\end{array}$

Schritt 2: Den Grenzprozess $h\to 0$ durchführen.

Für $h\to 0$ gilt $m(x_0,x_0+h)=2x_0+h\to 2x_0$.

Ergebnis: $f^{\prime }(x_0)=2x_0$

Aufgabe 2

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2+1$.

(a) Stelle eine Vermutung auf, wie die Formel für $f^{\prime }(x_0)$ lauten müsste. Überprüfe die Vermutung anhand von Beispielen im Applet oben. Du musst natürlich zuerst die betrachtete Funktion eingeben.

(b) Leite die Formel für $f^{\prime }(x_0)$ analog zu Aufgabe 1 her.

Aufgabe 3

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+1$.

(a) Stelle eine Vermutung auf, wie die Formel für $f^{\prime }(x_0)$ lauten müsste. Überprüfe die Vermutung anhand von Beispielen im Applet oben. Du musst natürlich zuerst die betrachtete Funktion eingeben.

(b) Leite die Formel für $f^{\prime }(x_0)$ analog zu Aufgabe 1 her.