Herleitung von $f'(x_0)$

Aufgabe 1

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$.

Zum Herunterladen: ableitung5.ggb

F. behauptet, dass man für diese Funktion die Formel $f'(x_0) = 2x_0$ erhält.

(a) Kontrolliere die Formel $f'(x_0) = 2x_0$ zunächst anhand von Beispielen im Applet.

(b) F. begründet die Formel mit folgender Herleitung. Erläutere alle (Zwischen-) Schritte der Herleitung.

Schritt 1: $m(x_0,x_0+h)$ umformen.

$\begin{array}{lcl} m(x_0, x_0+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{x_0^2 + 2x_0h +h^2 - x_0^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{2x_0h +h^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{h \cdot(2x_0+h)}{h}} \\ & = & 2x_0 + h \end{array}$

Schritt 2: Den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durchführen.

Für $h \rightarrow 0$ gilt $m(x_0, x_0+h) = 2x_0 + h \rightarrow 2x_0$.

Ergebnis: $f'(x_0) = 2x_0$

Aufgabe 2

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 + 1$.

(a) Stelle eine Vermutung auf, wie die Formel für $f'(x_0)$ lauten müsste. Überprüfe die Vermutung anhand von Beispielen im Applet oben. Du musst natürlich zuerst die betrachtete Funktion eingeben.

(b) Leite die Formel für $f'(x_0)$ analog zu Aufgabe 1 her.

Aufgabe 3

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^2 + 1$.

(a) Stelle eine Vermutung auf, wie die Formel für $f'(x_0)$ lauten müsste. Überprüfe die Vermutung anhand von Beispielen im Applet oben. Du musst natürlich zuerst die betrachtete Funktion eingeben.

(b) Leite die Formel für $f'(x_0)$ analog zu Aufgabe 1 her.