Schiefe Ebene

Der Kontext

Wir betrachten die Bewegung auf einer schiefen Ebene.

Wenn die Ebene einen Neigungswinkel von $15°$ hat, dann erhält man im Idealfall (ohne Reibung) in etwa folgende Zeit-Weg-Funktion für die Bewegung:

$s(t) = 0.5t^2$

Die Zeit $t$ wird hier in s angegeben. $s(t)$ beschreibt den bis zur Zeit $t$ zurückgelegten Weg in m.

Aufgabe 1

Ziel ist es, die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0 = 2$ zu ermitteln. Bestimme für die in der Tabelle angegebenen konkreten Zeitintervalle jeweils die mittlere Geschwindigkeit.

Zeitintervall $t_0 \leq t \leq t_0 + h$	zurückgelegter Weg $s(t_0 + h) - s(t_0)$	benötigte Zeit $h$	mittlere Geschwindigkeit $m(t_0, t_0 + h) = \frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$
$2 \leq t \leq 3$
$2 \leq t \leq 2.1$
$2 \leq t \leq 2.01$
$2 \leq t \leq 2.001$
$2 \leq t \leq 2.0001$
...
$2 \leq t \leq 2+h$

Aufgabe 2

(a) Stelle ausgehend von den berechneten Werten eine Vermutung auf, wie man die mittlere Geschwindigkeit direkt mit einer Formel berechnen kann.

$m(2, 2+h) = ...$

(b) Die Formel für $m(2, 2+h)$ kann man auch herleiten. Setze die Umformungen fort.

$\begin{array}{lcl} m(2, 2+h) & = & \displaystyle{\frac{s(2+h) - s(2)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{0.5\cdot (2+h)^2 - 0.5 \cdot 2^2}{h}} \\ & = & ... \end{array}$

(c) Wie kann man anhand der Formel für $m(2, 2+h)$ direkt die Momentangeschwindigkeit $v(2)$ zum Zeitpunt $t_0 = 2$ ermitteln? Beachte, dass man bei dem Annäherungsverfahren $h$ immer kleiner macht und dabei gegen den Wert $0$ gehen lässt.

Aufgabe 3 (für Experten)

Bestimme analog die Momentangeschwindigkeit für einen beliebigen Zeitpunkt $t_0$.