Schiefe Ebene

Der Kontext

Wir betrachten die Bewegung auf einer schiefen Ebene.

[1]

Wenn die Ebene einen Neigungswinkel von $15°$ hat, dann erhält man im Idealfall (ohne Reibung) in etwa folgende Zeit-Weg-Funktion für die Bewegung:

$s(t)=0.5t^2$

Die Zeit $t$ wird hier in s angegeben. $s(t)$ beschreibt den bis zur Zeit $t$ zurückgelegten Weg in m.

Aufgabe 1

Ziel ist es, die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0=2$ zu ermitteln. Bestimme für die in der Tabelle angegebenen konkreten Zeitintervalle jeweils die mittlere Geschwindigkeit.

Aufgabe 2

(a) Stelle ausgehend von den berechneten Werten eine Vermutung auf, wie man die mittlere Geschwindigkeit direkt mit einer Formel berechnen kann.

$m(2,2+h)=...$

(b) Die Formel für $m(2,2+h)$ kann man auch herleiten. Setze die Umformungen fort.

$\begin{array}{lcl}m(2,2+h)& =& {\displaystyle \frac{s(2+h)-s(2)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{0.5\cdot (2+h{)}^2-0.5\cdot 2^2}{h}}\\ & =& ...\end{array}$

(c) Wie kann man anhand der Formel für $m(2,2+h)$ direkt die Momentangeschwindigkeit $v(2)$ zum Zeitpunt $t_0=2$ ermitteln? Beachte, dass man bei dem Annäherungsverfahren $h$ immer kleiner macht und dabei gegen den Wert $0$ gehen lässt.

Aufgabe 3 (für Experten)

Bestimme analog die Momentangeschwindigkeit für einen beliebigen Zeitpunkt $t_0$.