Annäherung an $f^{\prime }(x_0)$

Zur Orientierung

Im letzten Abschnitt wurde $f^{\prime }(x_0)$ abgeschätzt. Ziel dieses Abschnitts ist es, $f^{\prime }(x_0)$ mit einer systematischen Annäherung zu bestimmen. Wir betrachten weiterhin das folgende Beispiel.

Zum Herunterladen: ableitung1.ggb

$f^{\prime }(x_0)$ mit einer systematischen Annäherung bestimmen

Wir nutzen auch hier die Grundidee der Ableitung:

$\begin{array}{ccl}m(x_0,x_0+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ \downarrow & h\to 0& \\ f^{\prime }(x_0)& & \end{array}$

Im Unterschied zum einmaligen Abschätzen nutzen wir hier eine Folge von immer kleineren $h$-Werten, die sich der $0$ annähern. Das bedeutet anschaulich, dass der zum $h$-Wert gehörende Punkt $Q$ sich dem Punkt $P$ auf dem Graph immer mehr annähert.

Aufgabe 1

(a) Die Tabelle zeigt bereits Einträge in der ersten Zeile. Erkläre, wie man auf die Werte dort kommt.

Intervall $x_0\le x\le x_0+h$	Änderung $f(x_0+h)-f(x_0)$	Schrittweite $h$	mittlere Änderungsrate $m(x_0,x_0+h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
$1\le x\le 1.1$	$0.21$	$0.1$	$2.1$
$1\le x\le 1.01$
$1\le x\le 1.001$
$1\le x\le 1.0001$
...

(b) Berechne die Werte in den nächsten drei Zeilen. Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet (so gut es geht). Nutze die Ergebnisse, um eine Vermutung über den zu bestimmenden Wert $f^{\prime }(1)$ zu formulieren.

(c) $K.$ vermutet, dass $m(1,1+h)=2+h$ gilt. Lässt sich diese Vermutung anhand der Rechenergebnisse in der Tabelle bestätigen? Wie könnte man die Formel nutzen, um $f^{\prime }(1)$ zu bestimmen?

Aufgabe 2

(a) In der folgenden Tabelle werden negative $h$-Werte zur Annäherung benutzt. Erkläre zuerst, was das anschaulich bedeutet.

(b) Erkläre, wie die Einträge in der ersten Zeile der Tabelle zustande kommen.

(c) Ergänze auch die restlichen Werte in der Tabelle. Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet (so gut es geht). Deute die Ergebnisse.

Intervall $x_0\ge x\ge x_0+h$	Änderung $f(x_0+h)-f(x_0)$	Schrittweite $h$	mittlere Änderungsrate $m(x_0,x_0+h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
$1\ge x\ge 0.9$	$-0.19$	$-0.1$	$1.9$
$1\ge x\ge 0.99$
$1\ge x\ge 0.999$
$1\ge x\ge 0.9999$
...