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Überprüfung - Ableitung an einer Stelle

Aufgabe 1

Betrachte die Funktion $f$ mit $f (x) = - x^{2} + 1$ .

Zum Herunterladen: ableitung7.ggb

(a) Welche Ableitungswerte sind plausibel, welche eher nicht?

$f^{'} (0) = 1$
$f^{'} (1) = 0$
$f^{'} (- 0.5) = 1$
$f^{'} (0.5) = 1$

(b) Schätze $f^{'} (1)$ mit Hilfe einer mittleren Änderungsrate ab.

(c) Es gilt $m (x_{0}, x_{0} + h) = - 2 x_{0} - h$ . Ermittle mit dieser Formel $f^{'} (- 1)$ .

$f^{'} (0) = 1$ : nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P (0 | 1)$ den Wert $0$ haben müsste
$f^{'} (1) = 0$ : nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P (1 | 0)$ einen negativen Wert hat
$f^{'} (- 0.5) = 1$ : plausibel
$f^{'} (0.5) = 1$ : nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P (0.5 | . . .)$ einen negativen Wert hat

Für $h = 0.01$ erhält man $m (1, 1 + 0.01) = \frac{f (1.01) - f (1)}{0.01} = \frac{- 0.0201 - 0}{0.01} = - 2.01$ . Also $f^{'} (1) \approx - 2$ .

Aus $m (x_{0}, x_{0} + h) = - 2 x_{0} - h$ folgt (für $h \to 0$ ), dass $f^{'} (x_{0}) = - 2 x_{0}$ gilt. Hieraus erhält man $f^{'} (- 1) = 2$ .

202.1.5.3

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