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Systematisches Vorgehen

Die Momentangeschwindigkeit systematisch bestimmen

Wir betrachten weiterhin die Bewegung eines frei fallenden Gegenstandes. Sie lässt sich (näherungsweise) mit folgender Zeit-Weg-Funktion beschreiben:

$s (t) = 5 \cdot t^{2}$

Die Variable $t$ beschreibt dabei die Zeit seit dem Beginn der Falbewegung. Die Funktion $s (t)$ liefert den zugehörigen zurückgelegten Fallweg.

Zum Herunterladen: freierfall4.ggb

Aufgabe 1

Betrachte das Zeitintervall $t_{0} \leq t \leq t_{1}$ , wobei $t_{1} = t_{0} + h$ gelten soll. $t_{1}$ unterscheidet sich demnach von $t_{0}$ um die Zeitdifferenz $h$ .

Erkläre, wie man eine mittlere Geschwindigkeit mit Hilfe der Zeit-Weg-Funktion $s (t)$ bestimmt. Erläutere hierzu die folgenden Formeln.

Zeitintervall: $t_{0} \leq t \leq t_{0} + h$
benötigte Zeit: $h$
zurückgelegte Wegstrecke: $s (t_{0} + h) - s (t_{0})$
mittlere Geschwindigkeit: $m (t_{0}, t_{0} + h) = \frac{s (t_{0} + h) - s (t_{0})}{h}$

Aufgabe 2

Bestimme für die in der Tabelle angegebenen konkreten Zeitintervalle jeweils die mittlere Geschwindigkeit. Kontrolliere die berechneten Ergebnisse im Applet.

Zeitintervall $t_{0} \leq t \leq t_{0} + h$	zurückgelegter Weg $s (t_{0} + h) - s (t_{0})$	benötigte Zeit $h$	mittlere Geschwindigkeit $m (t_{0}, t_{0} + h) = \frac{s (t_{0} + h) - s (t_{0})}{h}$
$2 \leq t \leq 3$	$25$	$1$	$25$
$2 \leq t \leq 2.1$
$2 \leq t \leq 2.01$
$2 \leq t \leq 2.001$
$2 \leq t \leq 2.0001$
...
$2 \leq t \leq 2 + h$

Aufgabe 3

(a) Stelle ausgehend von den berechneten Werten eine Vermutung auf, wie man die mittlere Geschwindigkeit direkt mit einer Formel berechnen kann.

$m (2, 2 + h) = . . .$

(b) Die Formel für $m (2, 2 + h)$ kann man auch herleiten. Setze die Umformungen fort.

$\begin{array}{lcl} m (2, 2 + h) & = & \frac{s (2 + h) - s (2)}{h} \\ = & \frac{5 \cdot (2 + h)^{2} - 5 \cdot 2^{2}}{h} \\ = & . . . \end{array}$

(c) Wie kann man anhand der Formel für $m (2, 2 + h)$ direkt die Momentangeschwindigkeit $v (2)$ zum Zeitpunt $t_{0} = 2$ ermitteln? Beachte, dass man bei dem Annäherungsverfahren $h$ immer kleiner macht und dabei gegen den Wert $0$ gehen lässt.

Aufgabe 4

Bestimme analog die Momentangeschwindigkeit für einen weiteren Zeitpunkt (z.B. $t_{0} = 3$ ).

Aufgabe 5 (für Experten)

(a) Bestimme analog die Momentangeschwindigkeit für einen beliebigen Zeitpunkt $t_{0}$ .

(b) Wenn du eine Formel für $v (t_{0})$ gefunden hast, dann kannst du folgendes Problem lösen:

Viele glauben, dass sie einen Aufprall eines Autos mit der Geschwindigkeit von 30 km/h ohne Sicherheitsgurt gut selbst auffangen können. Aber, stimmt das auch? Vergleiche mit folgender Fallbewegung: Bei welcher Höhe erreicht ein frei fallender Körper eine Endgeschwindigkeit von 30 km/h? Beachte, dass die Formel für $v (t_{0})$ die Momentangeschwindigkeiten in der Einheit m/s liefert.

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