Zusammenfassung - Der Ableitungsbegriff

Die Grundidee

Mit der Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ einer Funktion $f$ beschreibt man die lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle $x_0$. Geometrisch lässt sich die Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ als Steigung von Graph $f$ im Punkt $P(x_0|f(x_0))$ deuten.

Zum Herunterladen: ableitung3.ggb

Bestimmung der Ableitung

Die Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ erhält man durch einen Grenzprozess, bei dem die Schrittweite $h$ gegen $0$ geht.

$\begin{array}{ccl}m(x_0,x_0+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ \downarrow & h\to 0& \\ f^{\prime }(x_0)& & \end{array}$

Wir verdeutlichen das an folgendem Beispiel.

Schritt 1: $m(x_0,x_0+h)$ umformen.

$\begin{array}{lcl}m(x_0,x_0+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(x_0+h{)}^2-x_0^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x_0^2+2x_{0}h+h^2-x_0^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x_{0}h+h^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{h\cdot (2x_0+h)}{h}}\\ & =& 2x_0+h\end{array}$

Schritt 2: Den Grenzprozess $h\to 0$ durchführen.

Für $h\to 0$ gilt $m(x_0,x_0+h)=2x_0+h\to 2x_0$.

Ergebnis: $f^{\prime }(x_0)=2x_0$

Eine mathematische Beschreibung dieses Grenzprozesses

Die Ableitung lässt sich jetzt wie folgt mathematisch beschreiben.

Existenz der Ableitung

Beachte: Es gibt Funktionen, bei denen der Grenzwert $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$ für manche Stellen nicht existiert. Das Applet zeigt einen solchen Spezialfall.

Zum Herunterladen: ableitung2.ggb

In diesem Beispiel kann man keinen eindeutigen Wert für $f^{\prime }(0)$ festlegen. Eine Annäherung mit mittleren Änderungsraten von rechts führt zu einem negativen Ergebnis, eine Annäherung von links zu einem positiven Ergebnis.

Auch geometrisch zeigt sich dieses nicht-eindeutige Verhalten. Im vorliegenden Beispiel kann man nicht von einer Steigung des Graphen im Punkt $P(0|1)$ sprechen.