Berechnung von $f^{\prime }(x_0)$

Zur Orientierung

Im letzten Abschnitt wurde $f^{\prime }(x_0)$ mit einer systematischen Annäherung bestimmt. Ziel dieses Abschnitts ist es, $f^{\prime }(x_0)$ rechnerisch zu bestimmen. Wir betrachten weiterhin das folgende Beispiel.

Zum Herunterladen: ableitung1.ggb

$f^{\prime }(x_0)$ rechnerisch bestimmen

Ziel ist es, den in der folgenden Übersicht gezeigten Grenzprozess rechnerisch durchzuführen.

$\begin{array}{ccl}m(x_0,x_0+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ \downarrow & h\to 0& \\ f^{\prime }(x_0)& & \end{array}$

Aufgabe 1

Schritt 1: $m(x_0,x_0+h)$ umformen.

$\begin{array}{lcl}m(x_0,x_0+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(x_0+h{)}^2-{x_0}^2}{h}}\\ & =& ...\\ & =& 2x_0+h\end{array}$

Ergänze die Zwischenschritte in der Umformung.

Aufgabe 2

Schritt 2: Den Grenzprozess $h\to 0$ durchführen.

Begründe:

Für $h\to 0$ gilt $m(x_0,x_0+h)=2x_0+h\to 2x_0$.

Aufgabe 3

Begründe: Wenn man Schritt 1 und Schritt 2 kombiniert, erhält man folgende Formel für $f^{\prime }(x_0)$:

$f^{\prime }(x_0)=2x_0$

Kontrolliere diese Formel mit Hilfe dem Applet.

Aufgabe 4

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x)=0.5x^2$. Bestimme analog eine Formel für $f^{\prime }(x_0)$. Kontrolliere die Formel mit Hilfe dem Applet.