Berechnung von $f'(x_0)$
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt wurde $f'(x_0)$ mit einer systematischen Annäherung bestimmt. Ziel dieses Abschnitts ist es, $f'(x_0)$ rechnerisch zu bestimmen. Wir betrachten weiterhin das folgende Beispiel.
Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$.
Gesucht ist eine Formel für $f'(x_0)$.
Zum Herunterladen: ableitung1.ggb
$f'(x_0)$ rechnerisch bestimmen
Ziel ist es, den in der folgenden Übersicht gezeigten Grenzprozess rechnerisch durchzuführen.
$\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \\ f'(x_0) & & \end{array}$
Aufgabe 1
Schritt 1: $m(x_0,x_0+h)$ umformen.
$\begin{array}{lcl} m(x_0, x_0+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(x_0+h)^2 - {x_0}^2}{h}} \\ & = & ... \\ & = & 2x_0 + h \end{array}$
Ergänze die Zwischenschritte in der Umformung.
Aufgabe 2
Schritt 2: Den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durchführen.
Begründe:
Für $h \rightarrow 0$ gilt $m(x_0, x_0+h) = 2x_0 + h \rightarrow 2x_0$.
Aufgabe 3
Begründe: Wenn man Schritt 1 und Schritt 2 kombiniert, erhält man folgende Formel für $f'(x_0)$:
$f'(x_0) = 2x_0$
Kontrolliere diese Formel mit Hilfe dem Applet.
Aufgabe 4
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = 0.5x^2$. Bestimme analog eine Formel für $f'(x_0)$. Kontrolliere die Formel mit Hilfe dem Applet.
