Grenzwertdarstellung von $f^{\prime }(x_0)$

Zur Orientierung

Wir führen eine weitere, in der Mathematik übliche Schreibweise ein, um die in den letzten Abschnitten entwickelten Zusammenhänge zu beschreiben. Diese Schreibweise wird in den weiteren Kapiteln wenig genutzt. Du solltest sie aber kennen, um mathematische Darstellungen in anderen Veröffentlichungen zu verstehen.

Zum Herunterladen: ableitung3.ggb

Die Grenzwertschreibweise nutzen

Die Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ erhält man durch einen Grenzprozess, bei dem die Schrittweite $h$ gegen $0$ geht.

$\begin{array}{ccl}m(x_0,x_0+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ \downarrow & h\to 0& \\ f^{\prime }(x_0)& & \end{array}$

Für solche Grenzprozesse nutzt man in der Mathematik die Limes-Schreibweise:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$

Diese Schreibweise bedeutet:

Die Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ ist der Grenzwert ("Limes"), den man erhält, wenn man für die mittlere Änderungsrate ${\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$ die Schrittweite $h$ gegen $0$ gehen lässt.

Das ist also genau das, was in den letzten Abschnitten immer wieder an Beispielen durchgeführt wurde.

Beachte: Es gibt Funktionen, bei denen der Grenzwert $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$ für manche Stellen nicht existiert. Im letzten Abschnitt hast du eine solche Funktion kennengelernt.