Zusammenfassung - Tangente an einen Graph
Die Grundidee
Eine Tangente (von lateinisch: tangere "berühren") an einen Funktionsgraph ist eine Gerade, die den Graph in einem Punkt berührt. Zu klären wäre, was die Aussage "die Tangente berührt den Graph" bedeuten soll.
Eine Gerade "berührt" einen Funktionsgraph in einem Punkt, wenn die Gerade sich in diesem Punkt möglichst gut anschmiegt. Das ist der Fall, wenn sie dort dieselbe Steigung wie der Funktionsgraph hat.
Zum Herunterladen: tangente5.ggb
Präzisierung
Wir treffen daher folgende Vereinbarung.
Die Tangente an Graph $f$ im Punkt $P$ ist die Gerade durch Punkt $P$, die dort dieselbe Steigung hat wie Graph $f$ im Punkt $P$. Wenn $P$ die Koordinaten $P(x_0|f(x_0))$ hat, dann hat die Tangente demnach die Steigung $f'(x_0)$.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$.
Gesucht ist eine Tangente $t$ an Graph $f$ durch den Punkt $P(1|1)$.
Die Tangente $t$ hat die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P(1|1)$. Diese Steigung erhält man über die Ableitung $f'(1)$. Im letzten Kapitel haben wir hergeleitet, dass man für $f(x) = x^2$ die Ableitung $f'(x_0) = 2x_0$ erhält. Hieraus ergibt sich $f'(1) = 2$. Die Tangente $t$ hat somit die Steigung $2$.
Die Funktionsgleichung von $t$ kann man dann direkt angeben:
$t(x) = 2(x-1) + 1$
Diese lineare Funktion verläuft durch $P(1|1)$ und hat die Steigung $2$.
