Lösungen zu Analyse der Ableitungsfunktion
Aufgabe 1
Hier ist der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ zu einem Wachstumsprozess gegeben.
Welcher der vorgegebenen Graphen kommt als Ausgangsfunktion $f$ in Frage? Begründe.
Zum Herunterladen: wachstumsprozess6.ggb
| Stelle / Intervall | Eigenschaften von $f'$ | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } 1$ | $f'(x) \lt 0$ $f'$ ist streng monoton steigend |
gebremster Zerfall |
| $x = 1$ | $f'(x) = 0$ VZW von $-$ zu $+$ |
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt |
| $1 \text{ < } x \text{ < } 2$ | $f'(x) > 0$ $f'$ ist streng monoton steigend |
beschleunigtes Wachstum |
| $x = 2$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt |
| $2 \text{ < } x \text{ < } 3$ | $f'(x) > 0$ $f'$ ist streng monoton fallend |
gebremstes Wachstum |
| $x = 3$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt |
| $3 \text{ < } x \text{ < } \infty$ | $f'(x) \lt 0$ $f'$ ist streng monoton fallend |
beschleunigter Zerfall |
Die in der Übersicht aufgelisteten Eigenschaften von $f$ treffen auf Version 1 und Version 4 zu.
Aufgabe 2
Im Applet unter der Aufgabe ist der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ zu einem Wachstumsprozess gegeben. Welche Schlüsse über den Wachstumsprozess kann man hier ziehen? Bearbeite hierzu die Aufgaben unten.
(a) An welchen Stellen hat Graph $f$ einen Hoch-, Tief- oder Wendepunkt (Sattelpunkt)?
(b) In welchen Intervallen liegt beschleunigtes / gebremstes Wachstum bzw. beschleunigter / gebremster Zerfall vor?
| Stelle / Intervall | Eigenschaften von $f'$ | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } 2$ | $f'(x) > 0$ $f'$ ist streng monoton fallend |
gebremstes Wachstum |
| $x = 2$ | $f'(x) = 0$ $f'$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt |
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt |
| $2 \text{ < } x \text{ < } 5.5$ | $f'(x) > 0$ $f'$ ist streng monoton steigend |
beschleunigtes Wachstum |
| $x = 5.5$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt |
| $5.5 \text{ < } x \text{ < } 7$ | $f'(x) > 0$ $f'$ ist streng monoton fallend |
gebremstes Wachstum |
| $x = 7$ | VZW von $+$ zu $-$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt |
| $7 \text{ < } x \text{ < } \infty$ | $f'(x) \lt 0$ $f'$ ist streng monoton fallend |
beschleunigter Zerfall |
(c) Klicke ganz links oben auf den Zeiger und wähle den Modus „Freihandskizze“ aus. Nutze den Stift, um einen möglichen Verlauf von Graph $f$ im oberen Fenster zu skizzieren. Wechsle abschließend wieder zum Bewegungsmodus und blende zur Kontrolle Graph $f$ ein.
Zum Herunterladen: wachstumsprozess5.ggb
Aufgabe 3
Im Applet unter der Aufgabe ist der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ zu einem Wachstumsprozess gegeben. Welche Schlüsse über den Wachstumsprozess kann man hier ziehen?
(a) An welchen Stellen hat Graph $f$ einen Hoch-, Tief- oder Wendepunkt (Sattelpunkt)?
(b) In welchen Intervallen liegt beschleunigtes / gebremstes Wachstum bzw. beschleunigter / gebremster Zerfall vor?
(c) Klicke ganz links oben auf den Zeiger und wähle den Modus „Freihandskizze“ aus. Nutze den Stift, um einen möglichen Verlauf von Graph $f$ im oberen Fenster zu skizzieren. Wechsle abschließend wieder zum Bewegungsmodus und blende zur Kontrolle Graph $f$ ein.
Zum Herunterladen: wachstumsprozess7.ggb
Aufgabe 4
Im Applet unter der Aufgabe ist der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ zu einem Wachstumsprozess gegeben. Welche Schlüsse über den Wachstumsprozess kann man hier ziehen?
(a) An welchen Stellen hat Graph $f$ einen Hoch-, Tief- oder Wendepunkt (Sattelpunkt)?
(b) In welchen Intervallen liegt beschleunigtes / gebremstes Wachstum bzw. beschleunigter / gebremster Zerfall vor?
(c) Klicke ganz links oben auf den Zeiger und wähle den Modus "Freihandskizze" aus. Nutze den Stift, um einen möglichen Verlauf von Graph $f$ im oberen Fenster zu skizzieren. Wechsle abschließend wieder zum Bewegungsmodus und blende zur Kontrolle Graph $f$ ein.
Zum Herunterladen: wachstumsprozess8.ggb