Anzahl der Extrempunkte
Mit einem Applet experimentieren
Die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion bezeichnet man auch als Extrempunkte der Funktion. Folgendes Problem sollst du hier bearbeiten:
Leitfrage
Wie viele Extrempunkte kann eine ganzrationale Funktion haben?
Aufgabe 1
Wie viele Extrempunkte kann eine ganzrationale Funktion vom Grad 5 haben? Experimentiere mit dem Applet und formuliere eine Vermutung.
Zum Herunterladen: ganzrational_grad5.ggb
Eine mathematische Argumentation entwickeln
Bei einer Argumentation nutzt man in der Regel eine Argumentationsbasis. Das sind insbesondere die Fakten (hier die mathematischen Zusammenhänge), die vorgegeben sind.
Wir nutzen hier als Argumentationsbasis die folgenden mathematischen Zusammenhänge, die alle als bereits bekannte Sätze formuliert sind.
Nullstellensatz für ganzrationale Funktionen
Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen.
Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte
Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle.
Ableitung ganzrationaler Funktionen
Wenn man einen ganzrationale Funktion vom Grad $n$ ableitet, erhält man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n-1$.
Aufgabe 2
Entwickle eine Argumentation mit Hilfe der vorgegebenen Sätze, um den folgenden (wieder als Satz formulierten) mathematischen Zusammenhang nachzuweisen. Formuliere deine Argumentation möglichst präzise. Nutze dabei Formulierungen wie z.B. „Aus Satz ... folgt, dass ...“
Anzahl der Extrempunkte einer ganzrationalen Funktion
Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n-1$ Extrempunkte.
