o-mathe | Station – Mit Ableitungsgraphen argumentieren

Die Argumentationsstrategie

Wissen reaktivieren

Eine ganzrationale Funktion vom Grad 1 ist eine Funktion der Gestalt $f (x) = a_{1} x + a_{0}$ mit zwei reellen Zahlen $a_{1}, a_{0}$ , wobei zusätzlich $a_{1} \neq 0$ vorausgesetzt wird.

Aufgabe 1

Mache dir folgende Eigenschaften ganzrationaler Funktionen vom Grad 1 klar:

Eine ganzrationale Funktion vom Grad 1 ist eine lineare Funktion.
Der Graph ist eine Gerade.
Der Parameter $a_{0}$ beschreibt den $y$ -Achsenabschnitt der Geraden.
Der Parameter $a_{1}$ beschreibt die Steigung der Geraden.
Die Voraussetzung $a_{1} \neq 0$ bedeutet, dass die Gerade keine Parallele zur $x$ -Achse ist. Sie schneidet dann auf jeden Fall die $x$ -Achse.

Die Ableitungsfunktion zur Rekonstruktion der Ausgangsfunktion nutzen

In den vorangehenden Kapiteln haben wir zahlreiche Zusammenhänge zwischen Ausgangsfunktion und Ableitungsfunktion betrachtet. Wir nutzen diese Zusammenhänge hier, um aus Graphen von Ableitungsfunktionen die Graphen der Ausgangsfunktionen zu erschließen. Die hier benötigten Zusammenhänge sind in der folgenden Tabelle noch einmal zusammengestellt. Sie bilden eine wichtige Argumentationsbasis in den folgenden Argumentationen.

Eigenschaft von $f^{'}$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
Graph $f^{'}$ verläuft im Intervall $I$ im positiven Bereich.	$\Rightarrow$	$f$ ist im Intervall $I$ streng monoton steigend.
Graph $f^{'}$ verläuft im Intervall $I$ im negativen Bereich.	$\Rightarrow$	$f$ ist im Intervall $I$ streng monoton fallend.
$f^{'}$ ist im Intervall $I$ streng monoton steigend.	$\Rightarrow$	Graph $f$ ist im Intervall $I$ linksgekrümmt.
$f^{'}$ ist im Intervall $I$ streng monoton fallend.	$\Rightarrow$	Graph $f$ ist im Intervall $I$ rechtsgekrümmt.
$f^{'}$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+ / -$ -Vorzeichenwechsel.	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
$f^{'}$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $- / +$ -Vorzeichenwechsel.	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
$f^{'}$ hat an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt.	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
$f^{'}$ hat an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt, der auf der $x$ -Achse liegt.	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Aufgabe 2

(a) Betrachte die im Applet vorgegebene Situation. Begründe mit Hilfe der Argumentationsbasis: Die Ausgangsfunktion f hat einen Tiefpunkt.

(b) Mit dem Schieberegler im unteren Fenster kannst du Graph $f^{'}$ variieren. Begründe mit Hilfe der Argumentationsbasis: Wenn Graph $f^{'}$ eine Gerade mit einer negativen Steigung bildet, dann hat die Ausgangsfunktion f einen Hochpunkt.

(c) Mit dem Kontrollkästchen im oberen Fenster kannst du den Graph der Ausgangsfunktion einblenden. Kontrolliere so, ob die Aussagen in (a) und (b) stimmen.

Hinweis: Die $y$ -Achse wurde im Applet weggelassen, da sie für die Argumentationen keine Rolle spielt. Mit dem Punkt im oberen Fenster kannst du die Lage der $x$ -Achse variieren. Auch diese Lage spielt für die Argumentationen hier keine Rolle.

Zum Herunterladen: grad2.ggb

Ganzrationale Funktionen vom Grad 2 betrachten

Eine ganzrationale Funktion vom Grad 2 ist eine Funktion der Gestalt $f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ mit reellen Zahlen $a_{2}, a_{1}, a_{0}$ , wobei zusätzlich $a_{2} \neq 0$ vorausgesetzt wird. Eine ganzrationale Funktion vom Grad 2 ist demnach eine quadratische Funktion.

Aufgabe 3

(a) Nutze die Ergebnisse aus Aufgabe 2, um folgende Argumentationskette zu bilden. Erläutere jeden Schritt dieser Argumentationskette.

$f$ : ganzrationale Funktion vom Grad $2$

$⇓$

$f^{'}$ : ganzrationale Funktion vom Grad $1$

$⇓$

Graph $f^{'}$ : Gerade, die die $x$ -Achse schneidet

$⇓$

Graph $f$ : hat genau einen Hoch- oder Tiefpunkt

(b) Nutze dein Wissen über quadratische Funktionen, um die Ergebnisse aus Aufgabe 3 zu überprüfen.

Aufgabe 4

Entwickle eine Strategie zur Bearbeitung des folgenden Problems:

Problem

Wie sehen die Graphen ganzrationaler Funktionen vom Grad 3 aus? Haben sie immer Hoch- und/oder Tiefpunkte? Haben sie immer Wendepunkte? Wenn ja, wie viele?

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