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Ganzrationale Funktionen vom Grad 4

Das Problem klären

Wir betrachten jetzt ganzrationale Funktionen vom Grad 4:

Eine ganzrationale Funktion vom Grad 4 ist eine Funktion der Gestalt $f (x) = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ mit reellen Zahlen $a_{4}, a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{0}$ , wobei zusätzlich $a_{4} \neq 0$ vorausgesetzt wird.

Folgendes Problem wird hier bearbeitet.

Problem

Wie sehen die Graphen ganzrationaler Funktionen vom Grad 4 aus? Haben sie immer Hoch- und/oder Tiefpunkte? Haben sie immer Wendepunkte? Wenn ja, wie viele?

Eine Argumentationsstrategie verwenden

Die bereits bewährte Argumentationsstrategie lässt sich auch zur Bearbeitung des aktuellen Problems nutzen.

$f$ : ganzrationale Funktion vom Grad $4$

$⇓$

$f^{'}$ : ganzrationale Funktion vom Grad $3$

$⇓$

Graph $f^{'}$ : hat die Eigenschaften ...

$⇓$

Graph $f$ : hat die Eigenschaften ...

Nutze diese Strategie sowie die Argumentationsbasis vom letzten Abschnitt bei der Bearbeitung der folgenden Aufgabe.

Aufgabe 1

(a) Betrachte die im Applet vorgegebene Situation. Begründe mit Hilfe der Argumentationsbasis: Die Ausgangsfunktion f hat genau einen Hochpunkt, zwei Tief- und zwei Wendepunkte. Blende Graph $f$ zur Kontrolle ein.

(b) Mit den Schiebereglern im unteren Fenster kannst du Graph $f^{'}$ variieren. Zusätzlich kannst du den Punkt auf Graph $f^{'}$ nach oben und unten bewegen. Es ergeben sich hierdurch verschiedene Typen von Graphen. Begründe jeweils mit Hilfe der Argumentationsbasis die Eigenschaften von Graph $f$ .

Hinweis: Die $y$ -Achse wurde im Applet weggelassen, da sie für die Argumentationen keine Rolle spielz. Mit dem Punkt im oberen Fenster kannst du die Lage der $x$ -Achse variieren. Auch diese Lage spielt für die Argumentationen hier keine Rolle.

Zum Herunterladen: grad4.ggb

Eine Übersicht erstellen

In einer Übersicht sollen die möglichen Graphen ganzrationaler Funktionen vom Grad 4 dargestellt werden. Dabei sollen die möglichen Verläufe anhand prototypischer Beispiele verdeutlicht werden.

Aufgabe 2

Erstelle selbstständig eine Tabelle, in der die möglichen Verläufe der Graphen von ganzrationalen Funktionenvom Grad 4 anhand von Beispielen dargestellt werden. Gehe analog zum Fall "ganzrationale Funktionen vom Grad 3" im letzten Abschnitt vor.

Aufgabe 3

Stimmt das: Jede ganzrationale Funktion vom Grad 4 hat genau zwei Wendepunkte?

Begründe (mit einem passenden Beispiel).

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