Dominante Potenzfunktion

Den Beitrag der Potenzfunktionen untersuchen

Eine ganzrationale Funktion ist aus Potenzfunktionen aufgebaut. In der folgenden Aufgabe wirst du untersuchen, welchen Beitrag die einzelnen Potenzfunktionen am Grenzverhalten leisten.

Aufgabe 1

Im Applet unter der Aufgabe kann man sämtliche Vorfaktoren der Potenzfunktionen variieren. Probiere das zunächst in der Standardansicht aus. Wechsele anschließend zur Ansicht zum Grenzverhalten und variiere auch hier die Vorfaktoren.

Im Applet kann man ganzrationale Funktionen vom Grad $8$ betrachten, wenn $a_8\ne 0$ gilt. Es ist aber auch möglich, ganzrationale Funktionen vom Grad $7$ zu betrachten. Hierzu muss man $a_8=0$ und $a_7\ne 0$ einstellen. Entsprechend kann man ganzrationale Funktionen vom Grad $6$, $5$, ... untersuchen.

Gehe gezielt vor und untersuche, welche Potenzfunktion innerhalb einer ganzrationalen Funktion das Verhalten für $x\to -\mathrm{\infty }$ und $x\to +\mathrm{\infty }$ bestimmt. Formuliere eine Vermutung.

Zum Herunterladen: beitrag_potenzfunktion.ggb

Aufgabe 2

(a) Betrachte exemplarisch die ganzrationale Funktion $f$ vom Grad $8$ mit

$f(x)=2x^8+5x^7-3x^6-x^5-3x^4-x^3-2x^2-2x+5$.

Erkläre, dass der Funktionsterm sich so umformen lässt:

$f(x)=x^8\cdot (2+\frac{5}{x}-\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3}-\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^5}-\frac{2}{x^6}-\frac{2}{x^7}+\frac{5}{x^8})$

Begründe:

Für $x\to -\mathrm{\infty }$ bzw. $x\to +\mathrm{\infty }$ gilt:

$(2+\frac{5}{x}-\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3}-\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^5}-\frac{2}{x^6}-\frac{2}{x^7}+\frac{5}{x^8})\to 2$

und damit

$f(x)\to 2x^8$.

(b) Argumentiere analog bei der ganzrationalen Funktion $f$ vom Grad $7$ mit

$f(x)=-3x^7+2x^6-2x^4+x^3+4x-2$.

Aufgabe 3

Formuliere abschließend den experimentell gewonnenen und exemplarisch begründeten Zusammenhang über das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Grad n für $x\to -\mathrm{\infty }$ bzw. $x\to +\mathrm{\infty }$.