Erkundung – Schiffe im Raum

3D-Koordinatensysteme

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Aufgabe 1 (Einstieg)

Oben werden drei Situationen dargestellt, in denen es um die Beschreibung von Positionen geht. Je nach Situation braucht man dafür eine, zwei oder gar drei Zahlen.

(a) Beim Aufzug braucht man nur eine Koordinate zur Beschreibung der Position. Was sagt diese Zahl aus? Bei der Schatzkarte braucht man zwei Koordinaten. Was sagen diese beiden Zahlen jeweils aus? Beim Raumschiff braucht man drei Koordinaten. Was sagen diese drei Zahlen jeweils aus?

(b) Gib noch mindestens eine weitere Situation an, in der wir drei Koordinaten zum Beschreiben benötigen.

Aufgabe 2 (technische Vorbereitung)

Zur Darstellung dreidimensionaler Objekte nutzen wir die 3D-Ansicht von GeoGebra. Die ist sicherlich erst einmal ungewohnt. Hier übst du den Umgang damit.

(a) Im 3D-Applet unter der Aufgabe ist ein Quader zu sehen. Betrachte ihn einmal von oben, einmal von vorn und einmal von rechts, um zu zeigen, dass du die Perspektive verändern kannst.

(b) Verschiebe im 3D-Applet unter der Aufgabe den Punkt $A$ auf die Koordinaten $A(1|2|3)$, um zu zeigen, dass du damit umgehen kannst.

(c) 🖊️ Es gibt im 3D-Applet drei zueinander senkrechte Koordinatenachsen in drei Farben. Sie sind aber nicht beschriftet. Notiere dir, welcher Achse zur ersten, welche zur zweiten und welche zur dritten Koordinate gehört.

Zum Herunterladen: koordinaten2.ggb

Raumschiffe orten

Raumschiffe sind typische Objekte, deren Position wir nicht mehr mit zwei, sondern mit drei Koordinaten beschreiben können (vgl. Aufgabe 1). Du sollst nun Raumschiffe orten (also ihre Koordinaten bestimmen), um den Umgang mit 3D-Koordinatensystemen zu trainieren.

Aufgabe 3 (Erarbeitung)

Im nachfolgenden Applet sind drei Raumschiffe abgebildet, die jeweils aus mehreren Punkten bestehen. Bestimme die Koordinaten aller Punkte und notiere sie dir so: $A1(...|...|...)$; $A2(...|...|...)$; ...

Zum Herunterladen: raumschiff1.ggb

Aufgabe 4 (Sicherung)

(a) Der Punkt $A1$ hat die Koordinaten $A1(2|1|4)$. Beschreibe, was das bedeutet: Überlege dafür, wie du seine Position in Worten beschreiben kannst. Nutze zum Beispiel die Begriffe „Ursprung“, „rechts“, „vorne“, „Einheiten“.

(b) 🖊️ Wir verallgemeinern das Ergebnis aus Teil (a) und verwenden drei Variablen $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Vervollständige den folgenden Satz in dein Heft:

(c) 🖊️ In Aufgabe 3 war es sinnvoll, das Applet so zu drehen, dass man von oben, von vorne und von der Seite auf die Punkte schaut. Beschriebe für alle drei Situationen: Welche Koordinaten ($x_1$, $x_2$, $x_3$) kann man von dort aus gut ablesen, welche nicht?

Ein Raumschiff konzipieren

Wir drehen die Aufgabe nun um: Es geht nicht mehr darum, ein Raumschiff in einem Koordinatensystem zu orten, sondern eines in ein Koordinatensystem einzutragen. Zum Glück müssen wir dafür nur die Koordinaten eingeben und GeoGebra macht den Rest.

Aufgabe 5 (Vertiefung)

Im folgenden Applet sollst du selbst ein Raumschiff konzipieren. Der erste Punkt des Raumschiffs ist bereits vorgegeben: $A1(1|2|1)$. Du kannst weitere Punkte im Feld links eingeben (Für $A1$ wurde eingegeben: „$A1 = (1,2,1)$“). Erweitere das Raumschiff durch zusätzlich eingegebene Punkte so, dass es eine T-Form hat.

Zum Herunterladen: raumschiff2.ggb

Aufgabe 6 (Vertiefung 🚀)

Lambda hat drei Raumschiffe erstellt und behauptet:

• „Das Raumschiff $A$ mit $A1(2|0|3)$, $A2(2|1|3)$, $A3(2|2|3)$ hat eine I-Form.“
• „Das Raumschiff $B$ mit $B1(-1|2|-1)$, $B2(-1|2|0)$, $B3(-1|2|1)$, $B4(0|2|1)$ hat eine L-Form.“
• „Das Raumschiff $C$ mit $C1(2|2|0)$, $C2(3|2|0)$, $C3(4|2|0)$, $C4(4|1|1)$, $C5(4|3|0)$ hat eine T-Form.“

(a) Stimmen die Behauptungen von Lambda? Überprüfe die Form der Raumschiffe erst, indem du sie dir vorstellst. Vielleicht hilft es dir, drei Stifte als Koordinatenachsen zurechtzulegen und dir klarzumachen, wo die einzelnen Punkte liegen. Kontrolliere dann deine Einschätzung mit dem Applet von Aufgabe 3.

(b) Korrigiere ggf. das Raumschiff so, dass die Behauptung von Lambda stimmt.