Zusammenfassung
Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor
Die skalare Multiplikation eines Vektors kann man graphisch mit Pfeilen und rechnerisch mit n-Tupeln deuten:
Die Multiplikation einer Zahl (Skalar) $t$ mit einem Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ heißt skalare Multiplikation und ist komponentenweise definiert: $$t\cdot\vec{a}=t\cdot\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\cdot a_1\\t\cdot a_2\\t\cdot a_3\end{pmatrix}.$$
Graphisch bedeutet die skalare Multiplikation einer Zahl $t$ mit dem Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$, dass der Vektor um $t$ verlängert wird:
- $2\cdot\vec{a}$ ist doppelt so lang wie $\vec{a}$.
- $3\cdot\vec{a}$ ist dreimal so lang wie $\vec{a}$.
- $1\cdot\vec{a}$ ist genauso lang wie $\vec{a}$.
- $0\cdot\vec{a}$ hat die Länge 0 ist also der Nullvektor $\vec{0}$.
- $-1\cdot\vec{a}$ ist genauso lang wie $\vec{a}$ und hat die umgekehrte Orientierung. Man schreibt einfach $-\vec{a}$ und nennt diesen Vektor Gegenvektor von $\vec{a}$.
- $-4\cdot\vec{a}$ ist viermal so lang wie $\vec{a}$ und hat die umgekehrte Orientierung.
Der Vektor wird sozusagen „skaliert“.
Die Erklärungen oben gelten auch für zweidimensionale Vektoren; das siehst du im folgenden Beispiel:
Die Addition der Vielfachen von $n$ Vektoren nennt man Linearkombination. Eine Linearkombination hat diese allgemeine Form. $$t_1\cdot\vec{a_1}+t_2\cdot\vec{a_2}+t_3\cdot\vec{a_3}+t_4\cdot\vec{a_4}+\ldots+t_n\cdot\vec{a_n}$$ Hier zwei Beispiele:
- $3\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}+9\cdot\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$
- $2\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}-4\cdot\begin{pmatrix}3.4\\\frac12\\-180\end{pmatrix}$
