o-mathe | Vektoren verlängern und verkürzen

Zusammenfassung

Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor

Die skalare Multiplikation eines Vektors kann man graphisch mit Pfeilen und rechnerisch mit n-Tupeln deuten:

Die Multiplikation einer Zahl (Skalar) $t$ mit einem Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ heißt skalare Multiplikation und ist komponentenweise definiert: $t \cdot \vec{a} = t \cdot (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} t \cdot a_{1} \\ t \cdot a_{2} \\ t \cdot a_{3} \end{matrix}) .$

Die obige Definition ist deshalb sinnvoll, weil sie genau der Verlängerung des Vektorpfeils entspricht:

Graphisch bedeutet die skalare Multiplikation einer Zahl $t$ mit dem Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ , dass der Vektor um $t$ verlängert wird:

$2 \cdot \vec{a}$ ist doppelt so lang wie $\vec{a}$ .
$3 \cdot \vec{a}$ ist dreimal so lang wie $\vec{a}$ .
$1 \cdot \vec{a}$ ist genauso lang wie $\vec{a}$ .
$0 \cdot \vec{a}$ hat die Länge 0 ist also der Nullvektor $\vec{0}$ .
$- 1 \cdot \vec{a}$ ist genauso lang wie $\vec{a}$ und hat die umgekehrte Orientierung. Man schreibt einfach $- \vec{a}$ und nennt diesen Vektor Gegenvektor von $\vec{a}$ .
$- 4 \cdot \vec{a}$ ist viermal so lang wie $\vec{a}$ und hat die umgekehrte Orientierung.

Der Vektor wird sozusagen „skaliert“.

Die Erklärungen oben gelten auch für zweidimensionale Vektoren; das siehst du im folgenden Beispiel:

Du kannst an den violetten Punkten den Vektor anpassen:

Zum Herunterladen: multiplikation.ggb

Die Addition der Vielfachen von $n$ Vektoren nennt man Linearkombination. Eine Linearkombination hat diese allgemeine Form. $t_{1} \cdot \vec{a_{1}} + t_{2} \cdot \vec{a_{2}} + t_{3} \cdot \vec{a_{3}} + t_{4} \cdot \vec{a_{4}} + \dots + t_{n} \cdot \vec{a_{n}}$ Hier zwei Beispiele:

$3 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$
$2 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) - 4 \cdot (\begin{matrix} 3.4 \\ \frac{1}{2} \\ - 180 \end{matrix})$

Zusammenfassung

Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor

Suche

Rückmeldung geben