Fenster im Pyramidendach
Ein Fenster in der Glaspyramide im Louvre
In einem Kunstprojekt soll auf eine Pyramidenseite der Louvre-Pyramide eine Folie aufgeklebt werden, die ein Fenster zum (blauen) Himmel darstellen soll.
Zum Herunterladen: pyramide4.ggb
Vorab muss das Projekt genau geplant werden. Hierzu sollen u.a. auch die genaue Lage der Eckpunkte der Folie im Modell bestimmt werden.
Im Modell benutzen wir weiterhin die folgenden vereinfachte Pyramidendaten:
- Länge / Breite der Grundfläche: 5 Einheiten (1 Einheit entspricht ca. 7 m)
- Höhe der Pyramide: 3 Einheiten (1 Einheit entspricht ca. 7 m)
Das Künstlerteam hat folgende Entscheidungen getroffen:
- Die Punkt $G$, $M$, $N$, $H$ teilen die Grundseite $\overline{BC}$ in 5 gleich lange Teile.
- Die Punkt $I$, $K$ teilen die Strecke $\overline{GS}$ in 3 gleich lange Teile.
- Die Punkt $J$, $L$ teilen die Strecke $\overline{HS}$ in 3 gleich lange Teile.
Berechnungen mit Hilfe der Linearkombination bekannter Vektoren
Ziel ist es, die Koordinaten der Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ zu bestimmen.
Aufgabe 1
Bestimme zunächst die Koordinaten der Hilfspunkte $G$, $M$, $N$ und $H$. Die kann man direkt aus den vorgegebenen Daten erschließen.
Aufgabe 2
Zur Kontrolle werden die Koordinaten des Hilfspunktes $G$ auch noch mit einer Linearkombination bekannter Vektoren bestimmt.
$\overrightarrow{ OG } = \overrightarrow{ OB } + \frac{1}{5} \overrightarrow{ BC } = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + \frac{1}{5} \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$
(a) Verdeutliche den ersten Schritt $\overrightarrow{ OG } = \overrightarrow{ OB } + \frac{1}{5} \overrightarrow{ BC }$ an der Skizze. Erkläre dafür, was diese Vektoraddition anschaulich aussagt.
(b) Erkläre alle weiteren Schritte der Berechnung. Beachte, dass $O$ den Koordinatenursprung bezeichnet. Erkläre auch, warum das Ergebnis der Berechnung die Koordinaten des Punktes $G$ liefert.
Aufgabe 3
Mit dem in Aufgabe 2 gezeigten Verfahren lassen sich auch die Koordinaten der Punkte $H$, $I$, $J$, $K$ und $L$ bestimmen. Setze die folgende Berechnung fort. Führe analoge Berechnungen für die anderen Punkte durch. Ermittle so die Koordinaten der betreffenden Punkte.
💡 Ansätze
$\overrightarrow{ OH } = \overrightarrow{ OG } + \frac{4}{5} \overrightarrow{ BC } = ... $
$\overrightarrow{ OI } = \overrightarrow{ OG } + \frac{1}{3} \overrightarrow{ GS } = ... $
Aufgabe 4
Mit dem folgenden Applet kannst du die Berechnungen aus Aufgabe 2 und 3 kontrollieren. Gib in der Eingabezeile die Berechnungsformeln analog zur vorgegebenen ein. Benutze in GeoGebra Kleinbuchstaben (wie $g$) für die Ergebnisvektoren. Dabei soll $g$ für $\vec{g}$ bzw. $\overrightarrow{ OG }$ stehen.
Aufgabe 5
(a) Begründe mithilfe von Vektoren, dass die Strecken $\overline{KL}$, $\overline{IJ}$ und $\overline{BC}$ parallel sind.
(b) Bestimme die Längen der Strecken $\overline{GH}$, $\overline{IJ}$ und $\overline{KL}$. Die Längen kann man direkt aus den Koordinaten der Punkte erschließen oder auch mit dem Betrag der entsprechenden Vektoren berechnen. Sind die Ergebnisse plausibel? Begründe anschaulich (oder mit Hilfe der Strahlensätze; die darfst du wegen Teil (a) anwenden!).
