Strukturierung - Längenberechnung mit Vektoren
Die Länge von Vektorpfeilen bestimmen
Die Berechnungen aus dem letzten Abschnitt lassen sich verallgemeinern.
Zum Herunterladen: betragvektor1.ggb
Gegeben ist ein beliebiger Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)$.
Gesucht ist eine Formel für die Länge des Vektorpfeils. Wir schreiben hierfür $| \vec{v} |$ und sprechen vom Betrag des Vektors $\vec{v}$.
Aufgabe 1
Entwickle selbst eine Formel. Du kannst dabei genauso vorgehen wie im vorangegangenen Abschnitt.
$| \vec{v} | = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$
Den Fall negativer Koordinaten betrachten
Ein Vektor kann auch negative Koordinaten haben wie z.B. der Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)$.
Zum Herunterladen: betragvektor2.ggb
Im Applet kannst du den Punkt $V$ - und damit auch den Vektor $\vec{v}$ - verändern.
Aufgabe 2
Begründe mit Hilfe des folgenden Applets, dass die Formel zur Berechnung der Länge des Vektorpfeils auch dann gültig bleibt.
Die Formel zur Betragsberechnung anwenden
Die Formel zur Berechnung des Betrags eines Vektors bzw. zur Berechnung der Länge der Vektorpfeile kann man nutzen, um flexibel Längenberechnungen durchzuführen. Betrachte hierzu nochmal das Pyramidenbeispiel.
Zur Erinnerung:
- Länge / Breite der Grundfläche: 5 Einheiten (1 Einheit entspricht ca. 7 m)
- Höhe der Pyramide: 3 Einheiten (1 Einheit entspricht ca. 7 m)
Aufgabe 3
(a) Bestimme die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{ AS }$. Bestimme nun mit Hilfe der oben hergeleiteten Formel die Länge des entsprechenden Vektorpfeils und damit die Länge der Kante $\overline{AS}$.
(b) Warum sind die vier Kanten zur Spitze der Pyramide gleich lang? Begründe geometrisch. Kontrolliere, indem du die entsprechenden Vektoren und die Länge der zugehörigen Vektorpfeile bestimmst.
(c) Kontrolliere alle Berechnungen mit dem folgenden Applet. Die musst hierzu den Vektorpfeil (bzw. seinen Anfangs- und Endpunkt) an die passende Stelle bringen.
Quelle: pyramide5.ggb
