Ausblick – Analytische Geometrie
Geometrie Probleme algebraisch lösen
Die Grundidee der analytischen Geometrie besteht darin, geometrische Probleme rechnerisch zu lösen. Diese Grundidee wird den gesamten Themenbereich „Analytische Geometrie“ prägen. Wie man dabei vorgeht, soll hier an einem einfachen Beispiel aufgezeigt werden.
Das Problem – Den Mittelpunkt einer Strecke bestimmen
Gegeben sind zwei Punkte $A$ und $B$ in der Ebene. Gesucht ist der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$.
Lösungsansatz – Ein Koordinatensystem einführen
Die Grundidee der analytischen Geometrie besteht darin, geometrische Objekte in ein Koordinatensystem einzubetten. Damit können sie dann mit Hilfe von Zahlen beschrieben werden.
Lösung des Problems – Mit den Koordinaten rechnen
Den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ erhält man, indem man jeweils die Mitte der $x$- und $y$-Koordinaten der Ausgangspunkte $A$ und $B$ bestimmt. Im vorliegen Beispiel geht das so: Aus $A(-3|2)$ und $B(5|4)$ erhält man $M(1|3)$.
Mit dem folgenden Applet kannst du auch weitere Beispiele erzeugen, indem du die Punkte an andere Positionen bewegst.
Zum Herunterladen: mittelpunkt3.ggb
Was fehlt noch? – Eine Begründung zum rechnerischen Lösungsverfahren
Bisher ist das Verfahren nur anhand weniger Fälle überprüft worden. Das reicht in der Mathematik in aller Regel nicht. Das Vorgehen muss einsichtig begründet werden. Diese Begründung wird im Abschnitt Ortsvektoren nachgeliefert.
