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Ausblick - Analytische Geometrie

Geometrie Probleme algebraisch lösen

Die Grundidee der analytischen Geometrie besteht darin, geometrische Probleme rechnerisch bzw. algebraisch zu lösen. Diese Grundidee wird das gesamte Kapitel "Analytische Geometrie" prägen. Wie man dabei vorgeht, soll hier an einem einfachen Beispiel aufgezeigt werden.

Das Problem - Den Mittelpunkt einer Strecke bestimmen

Gegeben sind zwei Punkte $A$ und $B$ in der Ebene. Gesucht ist der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$.

Mittelpunkt einer Strecke

Lösungsansatz - Ein Koordinatensystem einführen

Die Grundidee der analytischen Geometrie besteht darin, geometrische Objekte in ein Koordinatensystem einzubetten. Damit können sie dann mit Hilfe von Zahlen beschrieben werden.

Mittelpunkt einer Strecke

Lösung des Problems - Mit den Koordinaten rechnen

Den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ erhält man, indem man jeweils die Mitte der $x$- und $y$-Koordinaten der Ausgangspunkte $A$ und $B$ bestimmt. Im vorliegen Beispiel geht das so: Aus $A(-3|2)$ und $B(5|4)$ erhält man $M(1|3)$.

Mit der folgenden Animation kannst du auch weitere Beispiele erzeugen, indem du die Punkte an andere Positionen bewegst.

Was fehlt noch? - Eine Begründung zum rechnerischen Lösungsverfahren

Bisher ist das Verfahren nur anhand weniger Fälle überprüft worden. Das reicht in der Mathematik in aller Regel nicht. Das Vorgehen muss einsichtig begründet werden. Diese Begründung wird im Abschnitt ... nachgeliefert.

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