Berechnungen am Pyramidenzelt

Ein Zelt in Form einer Pyramide

Eine Firma stellt Zelte in Form einer quadratischen Pyramide mit 6 m Breite und 4 m Höhe her. Den Eingang bildet ein Trapez $EFGH$. Die Punkte $E$ und $F$ teilen dabei die Kante $AB$ in 3 gleich lange Teile. $G$ bzw. $H$ sind die Mitten der Strecken $FS$ bzw. $ES$.

Aufgabe

(a) Bestimme aus den Angaben zum Zelt die Koordinaten der Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ und $S$ im Applet unter der Aufgabe. Der Punkt $D$ soll dabei im Ursprung des Koordinatensystems liegen.

(b) Bestimme die Koordinaten der Punkte $E$, $F$, $G$ und $H$, indem du die zugehörigen Ortsvektoren mit geeigneten Linearkombinationen aus bekannten Vektoren berechnest.

💡 Tipp

Wir können die Koordinaten von Punkten mithilfe der Ortsvektoren so bestimmen: Der Ortsvektor von $G$, also der Pfeil vom Ursprung zu $G$ lässt sich als Verkettung anderer Vektoren beschreiben. Wir können z.B. erstmal vom Ursprung zu $A$ laufen. Dann müssen wir von $A$ zu $F$ (das sind zwei Drittel des Vektors $\overrightarrow{AB}$) und schließlich von $F$ zu $G$ (das ist die Hälfte des Vektors $\overrightarrow{FS}$). Insgesamt erhalten wir die Rechnung $$\overrightarrow{OG} = \underbrace{\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB}}_{\overrightarrow{OF}} + \frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{FS}.$$ Wenn wir zuvor bereits die Koordinaten von $F$ bestimmt haben, müsste man nicht den „Umweg“ über $A$ laufen, sondern kann direkt mit $\overrightarrow{OF}$ starten.

🔑 Kontrollergebnis

$H$ hat die Koordinaten $H(4.5|2.5|2)$.

(c) Der Hersteller des Zeltes behauptet, dass die Seite $GH$ halb so lang ist wie die Seite $EF$. Untersuche, ob diese Behauptung stimmt. Nutze dafür einmal Betragsberechnungen und einmal die Strahlensätze. Weise dafür auch nach, dass die Voraussetzung für die Strahlensätze erfüllt ist.

(d) Überprüfe, ob die Kanten $\overline{EH}$ und $\overline{AS}$ parallel sind.

(e) Bestimme das Volumen des Zelts sowie, wie groß die Oberfläche des Zeltes ist (also wie viel Stoff benötigt wird). Achte dabei darauf, dass der Eingang keinen Stoff benötigt. Du musst dafür den Flächeninhalt des Dreiecks $ABS$ und des Trapezes $EFGH$ bestimmen. Löse das Problem mit Hilfe geeigneter Überlegungen und Berechnungen.

💡 Hilfe

In einer Formelsammlung findet man folgende Formeln zur Berechnung von Flächeninhalten und Volumina: $V_P = \frac{1}{3}\cdot A \cdot h$; $A_D = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ und $A_T = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$. Verdeutliche die Bestandteile $A$ und $h$ bzw. $g$ und $h$ bzw. $a$, $c$ und $h$ der jeweiligen Formel anhand einer Skizze. Benutze die Formeln zur Bestimmung der gesuchten Volumina und Flächeninhalte.

Zum Herunterladen: zelt.ggb