Verstrebungen auf der Pyramide

Streben für/nach Stabilität

Betrachte noch einmal die Glaspyramide im Innenhof des Louvre. Die Pyramidenseiten sind hier mit Querstreben in einzelne Fensterelemente aufgeteilt.

Wir integrieren diese Querstreben in unser Pyramidenmodell, betrachten aber nur wenige Streben – so, wie in der kleinen Pyramide in der Abbildung.

Zum Herunterladen: pyramide6.ggb

Aufgabe 1

(a) Die Punkte $E, F, G$, bzw. $H, I, J$ bzw. $K, L, M$ teilen die jeweiligen Strecken in 4 gleich lange Teile. Bestimme mit dieser Information die Koordinaten dieser Punkte, indem du die zugehörigen Ortsvektoren mit geeigneten Linearkombinationen aus bekannten Vektoren berechnest.

💡 Tipp

Wir können die Koordinaten von Punkten mithilfe der Ortsvektoren so bestimmen: Der Ortsvektor von $E$, also der Pfeil vom Ursprung zu $E$ lässt sich als Verkettung anderer Vektoren beschreiben. Wir können z.B. erstmal vom Ursprung zu $B$ laufen. Dann müssen wir von $B$ zu $E$ (das ist ein Viertel des Vektors $\overrightarrow{BC}$). Wir erhalten die Rechnung $$\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow{BC}.$$

(b) Die entstandenen Schnittpunkte $N$, $P$ und $Q$ teilen die jeweiligen Streben auch in gleich lange Teile. Begründe das mithilfe der Strahlensätze. Weise dafür auch nach, dass die Voraussetzung für die Strahlensätze erfüllt ist.

(c) Nutze die Eigenschaft aus (b), um auch die Koordinaten der Punkte $N$, $P$ und $Q$ zu bestimmen.

Aufgabe 2

Immer wieder wird der Architekt gebeten, verschiedene Punkte, die auf einer Pyramidenkante liegen, zu berechnen:

• $\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow{BC}.$
• $\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OB} + ...$
• $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OB} + ...$

Deshalb hat er eine allgemeine Formel für alle Punkte (also nicht nur die, die im Applet oben einen Namen haben) der Kante $\overline{BC}$ aufgestellt: $$\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OB} + t \cdot \overrightarrow{BC}.$$

(a) Erkläre die Formel. Beachte, dass auf der rechten Seite eine Variable vorkommt. Welche Werte muss man in diese Variable einsetzen, um $E$, $F$ und $G$ zu berechnen?

(b) Es gibt Werte, bei denen es keinen Sinn ergibt, sie einzusetzen. Gib deshalb einen sinnvollen Wertebereich für die Variable an.

(c) Beschreibe auch die Punkte auf den Kanten $\overline{BS}$ und $\overline{CS}$ durch eine solche Gleichung. Gibt es sogar mehr als eine Möglichkeit?