Vermischte Übungen
Aufgabe 1 ★
In dieser Aufgabe werden die Vektoraddition und die skalare Multiplikation kurz geübt.
Der Laser schweißt mehrere Nähte am Stück und soll dann wieder direkt zu seinem Ausgangsort zurückfahren.
Ermittle jeweils, wie die Bewegungsangabe $\vec x$ lauten muss, um den Laserkopf auf direktem Weg zum Startpunkt zurückzuschicken, nachdem er die beiden Nähte hintereinander geschweißt hat.
(a) Der Laser schweißt erst $\vec a=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ und dann $\vec b=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$.
(b) Der Laser schweißt erst $\vec c=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und dann $\vec d=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$.
Aufgabe 2 ★★
In dieser Aufgabe wird gezeigt, wozu Ortsvektoren und Linearkombinationen nützlich sind. Dabei kommt auch die Subtraktion vor. Aufgabenteil (d) eignet sich zur Diskussion der verwendeten Rechengesetze.
Der Abschnitt Koordinatengeometrie ist der Frage nachgegangen, wie man den Mittelpunkt einer Strecke rechnerisch bestimmt. Es wurde ein Verfahren gefunden, aber noch nicht ordentlich begründet. Mit Vektoren kann man weitere Erkenntnisse für dieses Problem gewinnen, vergleiche Vektorbegriff – Übungen. Inzwischen können wir mit Vektoren rechnen. Damit können wir endlich eine Begründung für die Mittelpunkts-Berechnung nachliefern.
🎯 Wir möchten die Formel für den Mittelpunkt einer Fläche sauber begründen.
(a) Im folgenden Applet sind die Punkte $A(-3|5)$ und $B(5|1)$ eingestellt. Mache dir noch einmal klar, wie man den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ rechnerisch bestimmen kann. Überprüfe am Applet.
Zum Herunterladen: mittelpunkt.ggb
(b) Im Applet sind die Ortsvektoren der drei Punkte eingezeichnet, also die Vektoren, die vom Ursprung zum jeweiligen Punkt zeigen. Welcher der drei Vektoren $\vec{a} = \overrightarrow{ OA }$, $\vec{b} = \overrightarrow{ OB }$, $\vec{m} = \overrightarrow{ OM }$ ist gesucht?
(c) Stelle den gesuchten Vektor als Linearkombination der anderen beiden Vektoren dar. Nutze dafür, dass du die Koordinaten von $A$ und $B$ kennst (siehe Teil (a)).
💡 Tipp
Wir suchen den Vektor $\overrightarrow{ OM }$. Ein Ortsvektor hat nämlich immer dieselben Koordinaten wie der zugehörige Punkt. Berechnen wir die Koordinaten von $\overrightarrow{ OM }$, so haben wir auch die Koordinaten von $M$.
💡 Noch ein Tipp
Den Vektor $\overrightarrow{ OM }$ kann man so berechnen: $\overrightarrow{ OM } = \overrightarrow{ OA } + \frac{1}{2} \overrightarrow{ AB } = ...$
Führe diese Berechnung fort.
💡 Noch ein Tipp
Der Vektor $\overrightarrow{ AB }$ ist die Verbindung vom Vektor $\vec{a}$ zum Vektor $\vec{b}$. Man kann ihn daher als $\vec{b} - \vec{a}$ berechnen.
(d) Die Berechnung aus Teil (c) kann man verallgemeinern – statt mit konkreten Zahlen rechnet man mit Variablen für die Vektoren. Erkläre die einzelnen Rechenschritte.
Rechenschritte ein-/ausblenden
$\vec{ m } = \vec{ a } + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \vec{ a } + \frac{1}{2} \cdot (\vec{ b } - \vec{ a }) = \vec{ a } + \frac{1}{2} \vec{ b } - \frac{1}{2}\vec{ a } = \frac{1}{2}\vec{ a } + \frac{1}{2} \vec{ b } = \frac{1}{2} (\vec{ a } + \vec{ b })$.
Damit ist die Formel $M(\frac{a_1+b_1}{2}|\frac{a_2+b_2}{2})$ bewiesen.
