Übungen - Vektoren
Aufgabe 1 - Bewegungen auf einem Kuboktaeder
In dieser Aufgabe geht es darum, 3D-Bewegungen im Kopf durchzuspielen und mit Hilfe von Vektoren zu beschreiben.
Ein Kuboktaeder entsteht aus einem Würfel, wenn man alle Ecken (wie in der folgenden Animation zu sehen) abschneidet.
Zum Herunterladen: kuboktaeder2.ggb
(a) Erkunde zunächst den vorgegebenen Kuboktaeder und beantworte folgende Fragen:
- Wie viele Seitenflächen sind Quadrate?
- Wie viele Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke?
- Wie viele Ecken und wie viele Kanten hat der Kuboktaeder?
(b) Gehe im Folgenden davon aus, dass der Kuboktaeder aus einem Würfel mit der Kantenlänge 4 entstanden ist. Bestimme exemplarisch die Koordinaten von 3 Eckpunkten: J, P, R
(c) Ein Käfer bewegt sich auf der Oberfläche des Kuboktaeders (zum Würfel mit der Kantenlänge 4). Die Käfertour geht über folgende Eckpunkte:
J - O - R - N - Q - M - L - K - J
Beschreibe die jeweilgen Bewegungen mit Hilfe von Vektoren, z.B. so:
$\overrightarrow{ JO } = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$, $\overrightarrow{ OR } = ...$
(d) Eine Käfertour auf der Oberfläche des Kuboktaeders (zum Würfel mit der Kantenlänge 4) ist durch folgende Daten gegeben:
Startpunkt: T; Bewegungen: $\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)$.
Bestimme die Punkte, durch die die Käfertour verläuft.
Aufgabe 2 - Einen Kuboktaeder zeichnen
Wie in Aufgabe 1 sollen auch hier 3D-Bewegungen im Kopf durchgespielt und mit Vektoren beschrieben werden. Zugleich soll der Umgang mit dem Programm BeetleBlocks geübt werden, weil wir das noch öfter zur Darstellung von 3D-Bewegungen verwenden können. Die Aufgabe ist besonders einfach, wenn du zuerst Aufgabe 1 bearbeitet hast.
Benutze die Animation, um mit dem Käfer einen Kuboktaeder (siehe Aufgabe 1) zu zeichnen.
Zum Herunterladen: kaefer3d.ggb
Alternativ hierzu kannst du auch die Programmierumgebung beetleblocks.com verwenden. Beachte, dass du dann das Schulbuch verlässt.
Importiere hierzu die Datei kuboktaeder.xml und ergänze den bereits vorgegebenen Anweisungsblock. Der vorgegebene Anweisungsblock erzeugt folgende Grafik.
- Klicke mit der rechten Maustaste auf den Link kuboktaeder.xml und speichere die Datei (Ziel speichern unter...) in einem Ordner.
- Öffne die Seite beetleblocks.com und klicke oben rechts auf "Run Beetle Blocks".
- Klicke in der Menu-Leiste links oben auf das Dateisymbol und wähle anschließend "Import project or blocks" aus.
- Navigiere zum Ordner, in dem du die xml-Datei gespeichert hast, wähle sie aus und klicke auf "Öffnen".
In der mittleren Spalte siehst du die hellblauen Blöcke, die durch die xml-Datei importiert wurden. Du kannst im Ausgangspunkt-Block die drei Koordinaten des Ausgangspunktes ändern und in einem Bewegungs-Block die Einträge der Bewegung ändern. Die einzelnen Blöcke lassen sich durch Verschieben auch neu anordnen oder löschen.
Wenn du weitere Bewegungsblöcke brauchst, kannst du in er linken Spalte unter "My blocks" einen neuen Block auswählen und unter die bisherigen Blöcke ziehen.
Wenn du auf ein Block-Paket klickst, erhält es kurz einen grünen Rahmen und der Käfer im rechten Fenster fliegt die angegebene Bewegung.
Aufgabe 3 - Verschiebungen mit Vektoren berechnen
In dieser Aufgabe geht es darum, die fehlendem Daten (dargestellt durch eine leere Box) zu berechnen.
(a) $\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)$ : $(-4|0|3) \rightarrow \square$
(b) $\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)$ : $(0|-2|-1) \rightarrow \square$
(c) $\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)$ : $\square \rightarrow (0|-2|-1)$
(d) $\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)$ : $\square \rightarrow (-4|0|3)$
(e) $\square$ : $(4|4|4) \rightarrow (6|3|7)$
(f) $\square$ : $(6|3|7) \rightarrow (4|4|4)$
Aufgabe 4 - Mittelpunkt einer Strecke
In Abschnitt Analytische Geometrie wurde gezeigt, wie man die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ einer Strecke $\overline{AB}$ bestimmt. Schaue dir ggf. nochmal das Verfahren an. Ziel dieser Aufgabe ist es, neue Einsichten mit Hilfe von Vektoren zu gewinnen.
Zum Herunterladen: mitte_strecke.ggb
(a) Bestimme für die gegebenen Punkte $A(3|-1|1)$, $B(1|3|5)$ und $M(2|1|3)$ die folgenden Vektoren. Was fällt auf?
$\overrightarrow{ AB }$, $\overrightarrow{ AM }$, $\overrightarrow{ MB }$.
(b) Führe entsprechende Berechnungen für andere Punkte aus (die du mit der Animation einstellen kannst). Dokumentiere die Ergebnisse.
(c) Formuliere abschließend deine Vermutung.
