Erkundung - Mittenviereck
Hauptstädte in Europa
Auf der Europakarte ist ein Viereck zu sehen, dessen Ecken alle Hauptstädte von Ländern in Europa sind. Zusätzlich sind die Seitenmitten des Vierecks miteinander zu einem Mittenviereck verbunden.
Quelle: mittenviereck1n.ggb
Quelle des Bildes: Europakarte mit Länderhauptstädten - Urheber: User: Highpriority - Lizenz: Creative Commons BY-SA 3.0
Aufgabe 1
(a) Kläre zunächst, welche Landeshauptstädte hier zu einem Viereck verbunden sind.
(b) Ist dir auch schon aufgefallen, dass das Mittenviereck wie ein Parallelogramm aussieht? Beschreibe, woran man das sehen kann. Erläutere dabei, welche Eigenschaften ein Viereck haben muss, damit es ein Parallelogramm ist.
(c) Probiere aus, wie sich die Gestalt des Mittenvierecks ändert, wenn man andere Haupstädte in Europa zu einem Viereck verbindet. Du kannst hierzu die Eckpunkte des Vierecks an die gewünschten Stellen verschieben.
(d) Formuliere eine Vermutung zum Mittenviereck.
Untersuchungen zum Mittenviereck
Sind die Hauptstädte in Europa so angeordnet, dass das Mittenviereck bei beliebiger Wahl von vier Hauptstädten ein Parallelogramm wird? Vermutlich nicht. Es handelt sich hier eher um eine interessante Eigenschaft beliebiger Vierecke. Das soll im Folgenden genauer untersucht werden.
In der folgenden Animation ist ein Viereck zusammen mit seinem Mittenviereck vorgegeben. Du kannst mit dem Kontrollkästchen zu einer Vektordarstellung wechseln.
Quelle: mittenviereck3.ggb
Aufgabe 2
(a) Probiere aus, die Eckpunkte in der Animation zu verschieben, und beobachte das Mittenviereck. Versuche möglichst verschiedene Vierecke einzustellen, um deine Vermutung von 1d zu überprüfen. Überlege dir: Was kannst du nach dieser Überprüfung über das Mittenviereck sagen?
Wir können Folgendes feststellen: Bei den von uns untersuchten Vierecken sah das Mittenviereck stets so aus, wie ein Parallelogramm. Aber zwei Dinge wissen wir noch nicht: 1. Ist das bei allen Vierecken so (oder haben wir nur zufällig passende Beispiele gewählt)? 2. Sind es wirklich Parallelogramme oder sehen die Vierecke nur so aus (und die Seiten sind nur „fast parallel“)? Die erste Frage können wir erst in Aufgabe 3 beantworten. Auf die zweite Frage finden wir schon in den kommenden Teilen eine Antwort. Dazu gehen wir so vor, wie wir es aus der analytischen Geometrie schon gewohnt sind: Wir lösen das geometrische Problem algebraisch, also durch Rechnungen.
(b) Betrachte das Viereck mit den Eckpunkten $A(-2|-2)$, $B(4|0)$, $C(4|4)$ und $D(-4|6)$. Bestimme zunächst die Koordinaten der Seitenmitten $E$, $F$, $G$ und $H$. Du kannst sie aus den Koordinaten der betreffenden Eckpunkte des Vierecks berechnen oder direkt in der Animation ablesen.
(c) Wechsle zur Vektordarstellung und bestimme die Koordinaten der folgenden Vektoren: $\overrightarrow{ EF }$ und $\overrightarrow{ HG }$. Was fällt auf? Beschreibe kurz.
(d) Bestimme analog die Koordinaten der folgenden Vektoren: $\overrightarrow{ FG }$ und $\overrightarrow{ EH }$. Beschreibe auch hier, was auffällt.
(e) Begründe mit Hilfe der Ergebnisse aus (c) und (d), dass das Mittenviereck zum vorgegebenen Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm sein muss.
Aufgabe 3
Die Berechnungen in Aufgabe 2 betreffen nur ein einzelnes vorgegebenes Viereck. Entsprechende Berechnungen kann man natürlich für viele andere Vierecke durchführen – mit dem immer gleichen Ergebnis, dass das Mittenviereck ein Parallelogramm ist.
Im Folgenden sollen die Berechnungen allgemein (d.h. für beliebige Vierecke) durchgeführt werden.
(a) Betrachte die folgenden Umformungen. Begründe jeden einzelnen Umformungsschritt.
$\overrightarrow{ EF } = \\ \frac{1}{2} \overrightarrow{ AB } + \frac{1}{2} \overrightarrow{ BC } = \\ \frac{1}{2} (\overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC }) = \\ \frac{1}{2} \overrightarrow{ AC }$
(b) Führe analoge Umformungen durch:
$\overrightarrow{ HG } = \\ ...$
(c) Begründe mit den Ergebnissen aus (a) und (b), dass die Seiten $EF$ und $GH$ für ein beliebiges Ausgangsviereck $ABCD$ parallel sein müssen.
(d) Begründe mit analogen Umformungen, dass die Seiten $FG$ und $HE$ für ein beliebiges Ausgangsviereck $ABCD$ parallel sein müssen.
Auf dieser Seite hast du exemplarisch erlebt, wie man in der Mathematik vorgeht: Sätze und ihre Beweise fallen nicht vom Himmel, im Gegenteil: Man stellt bei Untersuchungen etwas fest, experimentiert und formuliert eine Vermutung (Aufgabe 1: „Das Mittenviereck sieht aus wie ein Parallelogramm.“). Dann überprüft man die Vermutung an möglichst vielen Beispielen – oft erst anschaulich, dann genau (Aufgabe 2). Und erst dann sucht man einen Beweis für die Aussage (Aufgabe 3, mit vorgegebenem Ansatz), um sicherzustellen, dass sie wirklich immer gilt.
