Zusammenfassung – Betrag eines Vektors
Länge von Vektorpfeilen
In vielen Anwendungssituationen kann man Abstände berechnen, indem man die Länge geeigneter Vektorpfeile bestimmt. Für die Länge von Vektorpfeilen wird daher ein neuer Begriff eingeführt.
Unter dem Betrag eines Vektors versteht man die Länge der zugehörigen Vektorpfeile.
Man schreibt
Man nutzt für die Länge von Vektoren also denselben Begriff und dieselbe Schreibweise wie beim Betrag von Zahlen. Auch die dahintersteckende Grundidee ist analog: Mit dem Betrag von Zahlen beschreibt man den Abstand von Koordinatenursprung bzw. die Länge des Pfeils vom Koordinatenursprung zur betreffenden Zahl auf der Zahlengeraden.

Betrag eines Vektors – 2D-Fall
Gegeben ist der Vektor
Gesucht ist eine Formel zur Berechnung des Betrags
Zum Herunterladen: betrag2D.ggb
Der Betrag eines Vektors
Herleitung
Der Vektor
Nach dem Satz des Pythagoras gilt für das blau dargestellte Dreieck:
Durch Wurzelziehen erhält man jetzt
Beispiel:
Für
Betrag eines Vektors – 3D-Fall
Gegeben ist der Vektor
Gesucht ist eine Formel zur Berechnung des Betrags
Zum Herunterladen: betrag3D.ggb
Der Betrag eines Vektors
Herleitung
Der Vektor
Im Applet ist zusätzlich das (rot dargestellte) Dreieck PST hervorgehoben, das bei S einen rechten Winkel hat.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt für das rot dargestellte Dreieck:
Nach dem Satz des Pythagoras gilt für das blau dargestellte Dreieck:
Setzt man das Ergebnis für
Durch Wurzelziehen erhält man jetzt
Beispiel:
Für
Abstandsberechnung mit Hilfe von Vektoren
Der Abstand
Lösung
Zum Herunterladen: abstand2D.ggb
Zunächst bestimmt man den Vektor
Den gesuchten Abstand erhält man dann so: